Calculadora de Seno

O que é o seno de um ângulo

O seno de um ângulo agudo, num triângulo retângulo, é o cateto oposto a ele dividido pela hipotenusa. No triângulo de lados 3, 4 e 5, o ângulo oposto ao lado 3 tem:

$$\begin{array}{rl}\text{sen}\beta & =\frac{3}{5}=\mathrm{0,6}\end{array}$$

A razão não depende do tamanho do triângulo: um triângulo de lados 6, 8 e 10 tem os mesmos ângulos e o mesmo seno, 6/10 = 0,6. É por isso que o seno é uma propriedade do ângulo, e não do triângulo.

Para ângulos que não cabem num triângulo retângulo, como 150°, 210° ou −45°, o seno é definido no círculo trigonométrico, o círculo de raio 1 com centro na origem. O ângulo é medido a partir do eixo horizontal, no sentido anti-horário, e o seno é a altura do ponto em que o lado do ângulo corta o círculo. Como a hipotenusa ali vale 1, a altura é o próprio cateto oposto, e as duas definições coincidem nos ângulos agudos. O seno de qualquer ângulo fica entre −1 e 1.

Como digitar o ângulo em grau, radiano ou grado

Digite o ângulo e escolha a unidade no menu do campo: grau, radiano ou grado. Em grau, só o número: 30, −45 ou 22,5. Em radiano, escreva com π, como π/6 ou 5π/6, que o teclado abaixo do campo tem. Em grado, a volta tem 400, e 50 gon são 45°. O visor mostra o seno pela forma exata, quando ela existe, e o decimal logo abaixo.

O menu de unidade fica dentro do campo do ângulo, à vista, e não volta sozinho para grau. O seno de 30 em grau é 0,5; o seno de 30 em radiano é −0,988, porque 30 radianos são quase cinco voltas. Ler um resultado na unidade errada é o erro mais comum com calculadora de trigonometria. Para converter um ângulo entre as unidades, use o conversor de ângulo.

A resposta que vai para a prova: a forma exata

O seno de 60° é √3/2. A calculadora do celular diz 0,8660254038, e esse número está certo, mas não é o que o exercício pede: a resposta esperada é √3/2, e quem escreve 0,866 perde a questão ou perde meio ponto.

A forma exata existe nos múltiplos de 15°: 0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75° e 90°, e em todos os ângulos que caem neles depois da redução, como 150°, 210° e 330°. Fora deles, como em 20°, o seno não tem forma com raiz quadrada simples, e a página diz isso em vez de inventar uma: sen 20° ≈ 0,3420201433. As formas de 15° e 75° são as menos conhecidas:

$$\begin{array}{rl}\text{sen}15°& =\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\approx \mathrm{0,2588190451}\\ \text{sen}75°& =\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\approx \mathrm{0,9659258263}\end{array}$$

Tabela de seno dos ângulos notáveis

No primeiro quadrante, de 0° a 90°, o seno cresce de 0 a 1. As formas exatas são as da tabela do NIST, a referência de funções matemáticas do governo dos Estados Unidos:

Nos outros quadrantes, os mesmos valores voltam com o sinal do quadrante. A mesma tabela aparece na página, com o radiano e a cossecante ao lado:

Uma forma de decorar os três principais: sen 30°, sen 45° e sen 60° são √1/2, √2/2 e √3/2. A primeira é 1/2, porque √1 é 1.

Como calcular o seno de qualquer ângulo: a redução ao primeiro quadrante

Como o seno é a altura do ponto no círculo, ele se repete: 150° e 30° têm o mesmo seno, porque os dois pontos estão na mesma altura, um de cada lado do eixo vertical. A redução leva qualquer ângulo a um ângulo entre 0° e 90°, e a página mostra os quatro passos:

1. As voltas. 390° é 30° mais uma volta inteira, e o seno não muda com a volta. Ângulo negativo ganha voltas: −45° vira 315°.
2. O quadrante. Entre 0° e 90° é o 1º, entre 90° e 180° o 2º, e assim por diante.
3. O ângulo de referência. No 2º quadrante é 180° menos o ângulo; no 3º, o ângulo menos 180°; no 4º, 360° menos o ângulo.
4. O sinal. O seno é positivo no 1º e no 2º quadrantes, onde o ponto fica acima do eixo horizontal, e negativo no 3º e no 4º.

sen 210°: o ângulo está no 3º quadrante, a referência é 210° − 180° = 30°, e ali o seno é negativo.

$$\begin{array}{rl}\text{sen}210°& =-\text{sen}30°\\ & =-\frac{1}{2}\end{array}$$

sen(−45°): somando uma volta, −45° vira 315°, no 4º quadrante. A referência é 360° − 315° = 45°, o seno é negativo, e sen(−45°) = −√2/2.

Seno em radiano: por que π/6 é 30°

Meia volta são 180° ou π radianos, e é essa a regra de conversão. Para passar de grau para radiano, multiplique por π e divida por 180:

$$\begin{array}{rl}30°& =\frac{30\times \pi }{180}=\frac{\pi }{6}\end{array}$$

Por isso sen(π/6) = sen 30° = 1/2, e a página aceita as duas escritas. O radiano digitado com π é convertido em fração de grau antes da conta, e o resultado sai exato. Se você digitar o radiano como número solto, como 0,5236, a página calcula em decimal e não mostra forma exata, porque 0,5236 não é exatamente π/6.

Como usar o seno para calcular um lado do triângulo

Quando se conhece um ângulo e a hipotenusa, o seno dá o cateto oposto: basta multiplicar. Uma escada de 5 m apoiada na parede, fazendo 60° com o chão, alcança a altura:

$$\begin{array}{rl}\text{altura}& 5\times \text{sen}60°=5\times \frac{\sqrt{3}}{2}\\ & \approx \text{4,33 m}\end{array}$$

O caminho contrário também serve: conhecendo o cateto oposto e o seno, a hipotenusa é o cateto dividido pelo seno. É a conta de quem sabe a altura que precisa vencer e o ângulo que pode usar, e quer saber o comprimento.

Propriedades do seno

• Período de 360°. O seno se repete a cada volta: sen(β + 360°) = sen β.
• Máximo e mínimo. O maior valor é 1, em 90°, e o menor é −1, em 270°.
• Ângulo negativo. sen(−β) = −sen β. O seno de −30° é −1/2.
• Suplementares. sen(180° − β) = sen β. É por isso que 30° e 150° têm o mesmo seno.
• Com o cosseno. sen² β + cos² β = 1, para qualquer ângulo. Com sen β = 0,6, o cosseno é 0,8 ou −0,8.

Cossecante: o inverso do seno

A cossecante é 1 dividido pelo seno, e a página mostra as duas juntas. Onde o seno é zero, em 0°, 180° e 360°, a divisão é por zero e a cossecante não existe:

A página diz “não existe”, e não devolve 1,6 × 10¹⁶, que é o que muita calculadora faz: ela converte o ângulo para radiano com um erro minúsculo, o seno sai quase zero em vez de zero, e a divisão vira um número gigante com cara de resposta. Aqui o ângulo em grau é reduzido em números inteiros antes de qualquer conta, e o zero sai zero.

Arco seno: o ângulo pelo valor do seno

O segundo bloco faz o caminho de volta: você dá o valor do seno, como 1/2 ou √3/2, e ele devolve o ângulo, que é o arco seno, escrito arcsen, arcsin ou sen⁻¹. Muitos ângulos têm seno 1/2: 30°, 150°, 390°, e todos os que diferem deles por voltas inteiras. O arco seno escolhe um só, sempre entre −90° e 90°, que é o intervalo principal:

Por isso arcsen(1/2) é 30°, e não 150°. A página mostra o arco e escreve também todos os ângulos com aquele seno, que é o que a equação trigonométrica pede: sen β = 1/2 tem as soluções 30° + 360°k e 150° + 360°k, com k inteiro.

Fora dos valores notáveis, o arco sai em decimal. No triângulo 3, 4 e 5, o ângulo de seno 0,6 é:

$$\begin{array}{rl}\text{arcsen}\left(\mathrm{0,6}\right)& \approx \mathrm{36,8698976458}°\end{array}$$

O seno de qualquer ângulo fica entre −1 e 1. Pedir o arco seno de 2 é pedir um ângulo que não existe, e a página recusa e diz por quê.

Perguntas frequentes

Quanto é sen 30?

Em grau, sen 30° = 1/2, ou 0,5. Em radiano, sen 30 ≈ −0,988, porque 30 radianos são quase cinco voltas.

Quanto é sen 45 e sen 60?

sen 45° = √2/2 ≈ 0,7071 e sen 60° = √3/2 ≈ 0,8660.

Quanto é sen 0 e sen 90?

sen 0° = 0 e sen 90° = 1. Os dois são pontos sobre os eixos do círculo: (1, 0) e (0, 1).

Quanto é sen 120 e sen 150?

sen 120° = √3/2 e sen 150° = 1/2. Os dois estão no 2º quadrante, onde o seno é positivo, e reduzem a 60° e a 30°.

Por que a calculadora do celular dá outro valor para o seno?

Quase sempre porque está em radiano. Na calculadora científica do celular, o modo aparece como DEG, para grau, ou RAD, para radiano. Em RAD, sen 30 dá −0,988; em DEG, dá 0,5, que é o seno de 30°.

Qual a diferença entre seno e arco seno?

O seno recebe um ângulo e devolve um número entre −1 e 1. O arco seno faz o contrário: recebe o número e devolve o ângulo, entre −90° e 90°.

O seno pode ser maior que 1?

Não. Ele é a altura de um ponto num círculo de raio 1, e essa altura vai de −1 a 1. No triângulo, é o cateto dividido pela hipotenusa, que é sempre o lado maior.

Onde estão o cosseno e a tangente?

Nas páginas deles, com a mesma redução e a mesma tabela: a calculadora de cosseno e a calculadora de tangente. Para uma conta com várias funções juntas, a calculadora científica.