Calculadora de Tabela-Verdade (Calculadora Lógica)

O que é uma tabela-verdade

A tabela-verdade lista todas as combinações possíveis de verdadeiro (V) e falso (F) para as proposições de uma fórmula lógica, e mostra o valor da fórmula em cada uma. É o jeito de saber, sem argumento nenhum, quando uma afirmação composta é verdadeira: basta percorrer as linhas.

A página monta a tabela de qualquer fórmula com até seis proposições, com uma coluna para cada parte da fórmula resolvida na ordem em que a conta acontece, e diz no fim se ela é tautologia, contradição ou contingência.

Como montar uma tabela-verdade

O número de linhas é 2 elevado ao número de proposições, porque cada uma pode ser V ou F. Com p, q e r:

$$\begin{array}{rl}\text{linhas}& =2^3=8\end{array}$$

1. Faça uma coluna para cada proposição e preencha as combinações: a primeira troca de valor na metade das linhas, a segunda a cada quarto, e assim por diante, sempre começando em V.
2. Faça uma coluna para cada parte da fórmula, das mais internas para as de fora, respeitando os parênteses e a precedência.
3. Resolva cada coluna linha a linha pela tabela do conectivo dela.
4. A última coluna é a fórmula inteira, e é ela que dá a classificação.

É exatamente o que a calculadora faz, na mesma ordem de linhas do gabarito.

Como escrever a fórmula

O seu teclado não tem ¬, ∧ nem →, e esta página não exige que tenha. Escreva com o que existe no teclado e a fórmula é entendida do mesmo jeito. Quem prefere a notação formal usa as teclas de símbolo abaixo do campo.

A barra sozinha, |, a calculadora recusa, e não é implicância. Ela é a notação original do traço de Sheffer, que é o NAND, e é também a disjunção de quem escreve código. As duas leituras discordam em toda linha da tabela, e escolher uma em silêncio entregaria a resposta errada com cara de certa. Para disjunção há v, ou, ||, + e ∨; para NAND há nand, ↑ e ⊼.

Proposição aqui é uma letra só, e pode ser qualquer uma: as teclas trazem p q r s t u, que é a sequência dos livros brasileiros, mas A, B e C funcionam do mesmo jeito se o seu exercício usa essas. Maiúscula e minúscula são a mesma proposição, então P ^ p tem uma coluna só; e a coluna sai como você escreveu, sem trocar a caixa. O teto é de seis proposições, que já são 64 linhas.

O caso do v, que é conectivo e é nome de proposição

No Brasil quase todo mundo escreve a disjunção como v, e v também é um nome perfeitamente plausível de proposição. p v q é claro; v ^ p é outra coisa.

A regra é a posição, e ela vale sempre: onde a fórmula espera um conectivo, o v é disjunção; onde ela espera uma proposição, o v é proposição. Em p v q ele está entre dois operandos e é o ou. Em v ^ p ele abre a fórmula e é uma proposição chamada v, com coluna própria na tabela.

O que a página recusa é a letra nos dois papéis na mesma fórmula. (v ^ p) v q teria uma coluna chamada v numa tabela em que v também é o conectivo, e aí não há leitura única: a recusa nomeia as duas e oferece as duas saídas, escrever o conectivo como ou ou trocar o nome da proposição. A mesma regra vale para o e.

O que é uma proposição, e o que não é

Proposição é uma frase que pode ser julgada verdadeira ou falsa, e uma coisa ou a outra. “Está chovendo” é proposição. “Sete é maior que três” é proposição, e é verdadeira. “Sete é maior que dez” é proposição, e é falsa.

Não são proposições: perguntas (“está chovendo?”), ordens (“feche a janela”), pedidos, exclamações e frases sem valor de verdade definido (“esta frase é falsa”). Também não são proposições as expressões com variável livre, como “x é maior que três”: sem saber quem é x, não há o que julgar.

Na tabela, cada proposição vira uma coluna, e a tabela percorre todas as combinações possíveis de verdadeiro e falso entre elas. Com uma proposição são duas linhas, com duas são quatro, com três são oito. O número de linhas é 2 elevado ao número de proposições, e é por isso que seis proposições já são 64 linhas.

Os conectivos, um a um

Um conectivo pega o valor de verdade das partes e devolve o valor de verdade do todo. Não importa sobre o que as frases falam: importa só se são verdadeiras ou falsas. Por isso cada conectivo cabe numa tabela pequena, e essas tabelas são a definição dele.

Negação: ¬p

Inverte. Se p é verdadeira, ¬p é falsa; se p é falsa, ¬p é verdadeira. Em português: “não é o caso que p”.

Conjunção: p ∧ q

Verdadeira só quando as duas são verdadeiras. É o “e” do português, e também o “mas”: “Pedro é inteligente mas preguiçoso” afirma as duas coisas, e a diferença de tom entre “e” e “mas” se perde na tradução para a lógica.

Disjunção: p ∨ q

Verdadeira quando pelo menos uma é verdadeira, inclusive quando as duas são. É o “ou” inclusivo, o “e/ou” dos contratos. “Leva guarda-chuva ou casaco” continua verdadeiro se você levar os dois.

Disjunção exclusiva: p ⊻ q

Verdadeira quando exatamente uma é verdadeira. É o “ou” de “ou você vai, ou você fica”: as duas juntas não valem. A única linha que separa a exclusiva da inclusiva é a primeira.

Condicional: p → q

Falso em uma única linha: quando p é verdadeira e q é falsa. Em português, “se p, então q”. O p se chama antecedente e o q, consequente.

Bicondicional: p ↔ q

Verdadeiro quando as duas têm o mesmo valor. Em português, “p se e somente se q”. É a forma de dizer que as duas são equivalentes.

NAND: p ↑ q

A negação da conjunção: falso só quando as duas são verdadeiras, verdadeiro nas outras três linhas. Lê-se “não os dois”. Também chamado de traço de Sheffer, e a razão de ele ter nome próprio é curiosa: todos os outros conectivos podem ser escritos só com ele.

Conferindo a definição: cole ~(p ^ q) <-> (p nand q) na calculadora. É tautologia, porque os dois lados são a mesma coisa escrita de dois jeitos.

NOR: p ↓ q

A negação da disjunção: verdadeiro só quando as duas são falsas. Lê-se “nem um, nem o outro”. Também chamado de flecha de Peirce, e tem a mesma propriedade do NAND: sozinho, escreve todos os outros.

A definição correspondente é ~(p v q) <-> (p nor q), também tautologia.

Os dois exigem parênteses quando se repetem. Nem o NAND nem o NOR são associativos: (p ↑ q) ↑ r e p ↑ (q ↑ r) têm tabelas diferentes, e as duas têm cinco linhas verdadeiras, só que não as mesmas. Por isso p ↑ q ↑ r é recusado em vez de a calculadora escolher um agrupamento por você.

Por que “se falso, então verdadeiro” é verdadeiro no condicional

Esta é a linha que mais gera dúvida, e é onde a maioria dos geradores ruins erra. As duas últimas linhas da tabela do condicional são verdadeiras: F → V é verdadeiro, e F → F também é.

O jeito de entender é ler o condicional como uma promessa. “Se chover, eu levo guarda-chuva.” Em que situação você quebrou a promessa? Só numa: choveu e você não levou. Se choveu e você levou, cumpriu. Se não choveu e você levou assim mesmo, não quebrou nada, porque a promessa não dizia nada sobre dia sem chuva. Se não choveu e você não levou, também não quebrou nada.

A promessa só é falsa quando o antecedente acontece e o consequente não. Nas duas linhas de antecedente falso ela não foi posta à prova, e uma promessa que não foi posta à prova não foi quebrada. Em lógica clássica, não quebrada significa verdadeira.

Isso incomoda porque no português do dia a dia o “se, então” carrega uma ideia de causa que o condicional lógico não tem. “Se a Lua é de queijo, então dois mais dois é quatro” é verdadeiro pela tabela, embora as duas frases não tenham nada a ver uma com a outra. A lógica proposicional olha só para os valores de verdade, e esse é o preço de olhar só para eles.

Precedência dos conectivos, e quando o parêntese é obrigatório

Sem parênteses, a ordem é esta, do que liga mais forte para o que liga mais fraco:

$$\neg \succ \wedge \succ \vee ⊻\uparrow \downarrow \succ \to \succ \leftrightarrow$$

O sinal ≻ se lê “liga mais forte que”, e ∨, ⊻, ↑ e ↓ ficam no mesmo nível.

Então ~p ^ q é (¬p) ∧ q, e não ¬(p ∧ q). As duas fórmulas têm tabelas diferentes: escreva as duas na calculadora acima e compare a última coluna.

O condicional associa à direita: p -> q -> r é lido como p → (q → r), e não como (p → q) → r. As duas leituras dão tabelas diferentes, e há divergência entre livros nesse ponto. Por isso a calculadora devolve a leitura que fez com o parêntese explícito: se você quer a outra, escreva os parênteses.

Misturar dois conectivos diferentes desse nível sem parênteses a calculadora recusa. (p v q) xor r e p v (q xor r) discordam na linha em que as três são verdadeiras, e escolher uma das duas em silêncio entregaria a tabela errada com cara de certa. O mesmo vale para repetir ↑ ou ↓, que não são associativos; ∨ e ⊻ são, e encadeiam à vontade.

Tautologia, contradição e contingência

Pronta a tabela, a última coluna classifica a fórmula em uma de três:

• Tautologia: verdadeira em todas as linhas. Ela não depende de nada, é verdadeira por causa da própria forma. p v ~p é o exemplo mais curto.
• Contradição: falsa em todas as linhas. p ^ ~p.
• Contingência: verdadeira em algumas linhas e falsa em outras. É o caso da maioria das fórmulas, e quer dizer que o valor dela depende de quais proposições são verdadeiras.

Uma fórmula é tautologia se, e somente se, a negação dela é contradição. E duas fórmulas são equivalentes quando o bicondicional entre elas é tautologia, que é o teste que a seção seguinte usa.

As equivalências notáveis

São as fórmulas que aparecem em toda prova, e cada uma se demonstra do mesmo jeito: escreva o bicondicional entre os dois lados e confira se a última coluna é V em todas as linhas. Copie qualquer uma para o campo acima.

Todas as oito são tautologias. Se alguma delas aparecer como contingência na sua conta à mão, o erro está na conta, e a tabela desta página mostra em qual linha ele aconteceu.

A demonstração de De Morgan, coluna a coluna

É a tabela que a calculadora monta para ~(p ^ q) <-> (~p v ~q). A última coluna é V nas quatro linhas, e por isso os dois lados são equivalentes.

Perguntas frequentes

Quantas proposições a tabela aceita?

Seis, que são 64 linhas. Com dez seriam 1.024, e uma tabela de mil linhas não ajuda ninguém a conferir exercício nenhum. Acima de seis a calculadora avisa quantas linhas a sua fórmula teria.

Em que ordem as linhas aparecem?

Na ordem canônica dos livros: as proposições em ordem alfabética, a primeira coluna trocando de valor na metade da tabela, a segunda a cada quarto, e assim por diante, sempre começando em V. É a mesma ordem do gabarito, então dá para comparar linha a linha.

Por que aparecem colunas que eu não pedi?

Porque cada subexpressão da fórmula ganha a coluna dela, resolvida na ordem em que a conta acontece. Para (p ^ q) -> ~r aparecem p ∧ q e ¬r antes do resultado, que é o que o professor pede para ver. Subexpressão repetida entra uma vez só.

Posso copiar a tabela para o trabalho?

Pode, de duas formas. “Copiar a tabela” entrega o texto com as colunas alinhadas, para colar em qualquer lugar. “Copiar para planilha” separa as células por tabulação, que é o que faz o Excel, o Google Sheets e o Word colarem cada valor na célula certa.

A calculadora resolve lógica de predicados?

Não. Quantificadores, mapa de Karnaugh, simplificação booleana e portas lógicas ficam de fora: esta página trata de lógica proposicional, que é o conteúdo em que a tabela verdade é a ferramenta.

V e F ou 1 e 0?

A tabela usa V e F, que é a notação corrente nos livros brasileiros. Quem precisa de 1 e 0 copia para a planilha e substitui de uma vez.

Com 1 e 0 no lugar de V e F, cada linha vira um número binário: com três proposições, VVV é 111, o 7 decimal, e a ordem canônica desce de 7 até 0.