Calculadora de Probabilidade

O que é probabilidade e como calcular

A probabilidade de um evento é a medida da chance de ele acontecer. Na definição clássica, ela é a razão entre os casos que servem e os casos que existem:

$$P=\frac{\text{casos favoráveis}}{\text{casos possíveis}}$$

Num dado comum, há seis faces e uma delas é o 6:

$$\begin{array}{rl}P\left(6\right)& =\frac{1}{6}\approx \text{16,67\%}\end{array}$$

Simples, com uma condição escondida: todos os casos precisam ser igualmente prováveis. A fórmula vale para um dado honesto e não vale para um dado viciado.

A loteria cumpre essa condição à risca: toda combinação de seis dezenas tem a mesma chance, e a chance de ganhar na Mega-Sena é 1 em 50.063.860.

O resultado está sempre entre 0 e 1, ou entre 0% e 100%. Zero é o evento impossível, um é o evento certo, e nada fica fora desse intervalo.

Probabilidade de dois eventos: as oito perguntas

Com duas chances na mão, a pergunta raramente é só “os dois acontecem”. O enunciado costuma vir embrulhado: “pelo menos um”, “exatamente um”, “nem um nem outro”, “o primeiro sim e o segundo não”. São oito perguntas diferentes, e a página responde as oito de uma vez, porque quem copia o enunciado nem sempre sabe traduzir qual delas é a sua.

Em lógica, “pelo menos um” é o ou inclusivo e “exatamente um” é o ou exclusivo, e a tabela-verdade dos dois conectivos só difere na linha em que A e B acontecem juntos.

Todas saem de quatro pedaços que dividem o espaço amostral e somam 100%: só A, os dois juntos, só B, e nenhum dos dois. O diagrama de Venn ao lado do resultado é o desenho desses quatro pedaços, com o número de cada um dentro dele. O retângulo em volta é o espaço amostral inteiro, e é ele que dá sentido ao “nenhum dos dois”: é a área do retângulo que sobra fora dos dois círculos.

No menu de cenários você escolhe qual das oito é a sua. Ela vira o número grande do visor e sai pintada no diagrama, e é aí que a diferença entre elas fica visível: “pelo menos um” pinta os três pedaços dos círculos, “exatamente um” pinta os dois crescentes e deixa o meio branco, e “nenhum dos dois” pinta só o que sobra em volta. As outras sete continuam escritas na lista, para conferir.

A tabela do passo a passo, abaixo do painel, mostra a conta de cada uma com os seus números no lugar. Duas moedas, cara em cada uma, com 50% de chance e independentes:

$$\begin{array}{rl}\text{Os dois}& =\text{0,5}\times \text{0,5}=\text{25\%}\\ \text{Pelo menos um}& =\text{50\%}+\text{50\%}-\text{25\%}=\text{75\%}\\ \text{Nenhum}& =\text{100\%}-\text{75\%}=\text{25\%}\end{array}$$

Exatamente uma cara é o que sobra: 75% − 25% = 50%. Os quatro pedaços, só A, os dois, só B e nenhum, valem 25% cada e somam 100%.

Eventos independentes e mutuamente exclusivos

Os dois termos soam parecidos e significam coisas opostas.

A subtração no “ou” dos independentes existe por um motivo geométrico: somando P(A) e P(B), os casos em que os dois acontecem entram nas duas parcelas e ficam contados duas vezes. Subtrair a interseção conserta isso.

E dois eventos exclusivos nunca somam mais de 100%: se somassem, não sobraria probabilidade para o resto do espaço amostral. A calculadora recusa essa combinação dizendo isso.

Evento complementar: a chance de não acontecer

O evento complementar é o que sobra:

$$P\left(\text{não}A\right)=1-P\left(A\right)$$

Parece óbvio e é a ferramenta mais útil da matéria, porque muitos problemas ficam fáceis do avesso. “Qual a chance de sair pelo menos um 6 em quatro dados” é uma conta feia pela frente e uma conta curta por trás: 1 menos a chance de não sair 6 nenhuma vez:

$$\begin{array}{rl}P& =1-{\left(}^{\frac{5}{6}}\approx 1-\mathrm{0,482}\\ & \approx \text{51,8\%}\end{array}$$

Distribuição binomial: acertos em várias tentativas

Quando a mesma tentativa se repete n vezes, sempre com a mesma chance p, e a pergunta é “quantas vezes acertei”:

$$P(X=k)=C(n,k)\times p^k\times {(}^1$$

Os três pedaços têm significado próprio:

• pᵏ é a chance dos k acertos acontecerem;
• (1 − p)ⁿ⁻ᵏ é a chance dos erros restantes acontecerem;
• C(n, k) conta de quantas maneiras diferentes os acertos podem se espalhar pelas tentativas.

Em 10 jogadas de moeda, exatamente 3 caras: há C(10, 3) = 120 arranjos possíveis dessas 3 caras, cada um com chance (1/2)¹⁰:

$$\begin{array}{rl}P& =120\times {\left(}^{\frac{1}{2}}=\frac{120}{1.024}\\ & \approx \text{11,72\%}\end{array}$$

Repare que o resultado mais provável não é o único que interessa. A página mostra também “no máximo k” e “pelo menos k”, que é o que a maioria das perguntas realmente pede.

O gráfico de barras ao lado do resultado desenha a distribuição inteira, uma barra por número de acertos possível, com a sua marcada em escuro. É ele que responde de relance a pergunta que o número sozinho não responde: o seu resultado é o esperado, ou é um azar de ponta? A linha tracejada da média é a régua dessa leitura.

Sempre, nunca, e pelo menos uma vez

Três perguntas aparecem tanto que merecem nome próprio, e as três são a mesma binomial com o número de acertos nos extremos:

• Acertar sempre é acertar nas n tentativas: pⁿ.
• Nunca acertar é errar nas n: (1 − p)ⁿ.
• Acertar pelo menos uma vez é o que sobra do anterior: 1 − (1 − p)ⁿ.

A terceira é a mais pedida e a que mais engana. Jogando um dado quatro vezes, a chance de sair pelo menos um 6 não é 4 × 1/6, que daria 66,7%: é 1 − (5/6)⁴ = 51,8%. Somar as chances conta duas vezes os casos em que o 6 sai mais de uma vez.

As três aparecem no resultado assim que você preenche as tentativas e a chance de cada uma, sem precisar de outro formulário.

Distribuição normal e escore z

As três primeiras contas desta página tratam de coisas que se contam: faces de dado, cartas, acertos. A quarta trata do que se mede: altura, peso, tempo, nota. Medidas não caem em casos separados, elas se espalham em torno de uma média, e o desenho desse espalhamento é a curva normal.

Para achar a chance de uma medida cair numa faixa, a conta traduz o valor para distância da média em desvios, que é o escore z:

$$z=\frac{x-\mu }{\sigma }$$

Uma altura de 1,80 m numa população de média 1,70 m e desvio 0,08 m:

$$\begin{array}{rl}z& =\frac{\mathrm{1,80}-\mathrm{1,70}}{\mathrm{0,08}}=\mathrm{1,25}\end{array}$$

Ela está um desvio e um quarto acima da média, e 89,4% das pessoas dessa população têm altura menor. Entre 1,60 m e 1,80 m, de z = −1,25 a z = 1,25, ficam 78,9%. O z é o que permite comparar coisas de unidades diferentes, e é ele que a tabela z do livro recebe.

A área embaixo da curva até aquele ponto é a probabilidade. A página desenha essa área pintada, escreve a porcentagem dentro dela e mostra o z de cada limite, que é exatamente o que você copiaria para a folha da prova.

A regra 68, 95, 99,7 e o intervalo de confiança

Numa distribuição normal, a fatia em torno da média é sempre a mesma, não importa a média nem o desvio:

• Um desvio para cada lado guarda 68,27% dos valores;
• Dois desvios guardam 95,45%;
• Três desvios guardam 99,73%.

É por isso que a tabela de intervalos de confiança aparece no resultado: ela faz o caminho inverso, partindo da confiança que você quer e devolvendo a faixa de valores. Para 95% de confiança a distância é de 1,96 desvio, que é o número mais citado da estatística inteira.

Uma ressalva que vale dizer: a curva normal descreve bem altura, erro de medida e nota de prova grande, e descreve mal renda, tempo de espera e preço. Antes de usar esta parte da página, vale saber se os seus dados se espalham mesmo desse jeito.

Probabilidade e porcentagem

Probabilidade e porcentagem são o mesmo número em roupas diferentes: 0,25 e 25% são a mesma chance. A página mostra as três formas de uma vez, com a fração já simplificada, porque cada matéria prefere uma delas: o livro de estatística usa decimal, o jornal usa porcentagem e o livro de matemática usa fração.

Perguntas frequentes

Como calcular a probabilidade de um evento?

Divida a quantidade de casos favoráveis pela quantidade total de casos possíveis, desde que todos sejam igualmente prováveis. Num baralho de 52 cartas, tirar uma carta de copas é 13 ÷ 52 = 25%.

Qual a diferença entre eventos independentes e mutuamente exclusivos?

Independentes podem acontecer juntos e um não afeta o outro, então multiplicam-se para o “e”. Mutuamente exclusivos não podem acontecer juntos, então P(A e B) é zero e as probabilidades apenas se somam no “ou”.

Como calcular a chance de algo acontecer pelo menos uma vez?

Pelo complementar. Calcule a chance de não acontecer nenhuma vez e subtraia de 100%. É quase sempre mais curto que somar todos os casos favoráveis.

Qual a probabilidade de tirar dois 6 em dois dados?

1 em 36, cerca de 2,78%. Os dados são independentes, e a chance de cada um é 1/6: 1/6 × 1/6 = 1/36. A chance de sair pelo menos um 6 nos dois é bem maior, 11/36, cerca de 30,56%.

O que é distribuição binomial?

É a distribuição do número de acertos em n tentativas independentes com a mesma probabilidade p. Ela responde perguntas do tipo “qual a chance de acertar exatamente 3 de 10”.

Para que serve o diagrama de Venn na probabilidade?

Ele mostra o espaço amostral como um retângulo e cada evento como um círculo dentro dele. A área onde os círculos se cruzam é a chance dos dois acontecerem juntos, e o que sobra do retângulo é a chance de nenhum acontecer. Em eventos mutuamente exclusivos os círculos não se tocam, e é aí que se vê por que a interseção deles é zero.

Como calcular a probabilidade na distribuição normal?

Transforme o valor em escore z com z = (x − μ) ÷ σ e consulte a área acumulada até esse z. Para uma faixa entre dois valores, a área é a diferença entre as duas acumuladas. A calculadora faz os dois passos e mostra o z de cada limite ao lado da resposta.

O que quer dizer 1,96 desvio padrão?

É a distância da média que deixa 95% da curva normal no meio, com 2,5% sobrando em cada cauda. Por isso 1,96 aparece em toda margem de erro de pesquisa eleitoral e em todo intervalo de confiança de 95%.