Calculadora de Desvio Padrão

O que é desvio padrão

O desvio padrão mede o quanto os valores de uma lista se afastam da média. Desvio pequeno quer dizer valores parecidos, perto da média; desvio grande, valores espalhados. Duas turmas com média 6 podem ser bem diferentes: numa todos tiraram entre 5 e 7, na outra metade tirou 2 e metade tirou 10. A média é a mesma, e o desvio padrão é o que mostra a diferença.

Ele está na mesma unidade dos dados: o desvio de notas sai em pontos, o de alturas sai em centímetros. É a medida de dispersão mais usada em estatística, e aparece em pesquisa, controle de qualidade e na curva normal.

Desvio padrão populacional ou amostral

Dividir por n ou por n−1 é a dúvida mais comum de quem calcula desvio padrão, e a maioria das calculadoras obriga você a escolher antes de ver o resultado. Isso transfere o erro para quem pergunta.

Aqui os dois saem da mesma lista, lado a lado. A escolha vira leitura, e a regra é esta:

As notas de toda a turma, se a pergunta é sobre aquela turma: populacional. Trinta peças medidas de uma produção de dez mil: amostral. Na dúvida em trabalho escolar, veja qual o enunciado pede; em pesquisa, quase sempre é o amostral.

O que é a correção de Bessel, e por que n − 1

Uma amostra tende a variar menos que a população de onde saiu, porque os valores extremos são raros e provavelmente ficaram de fora. Dividir por n−1 em vez de n aumenta um pouco o resultado e corrige esse viés.

O efeito encolhe conforme a amostra cresce: com 5 valores a diferença entre os dois é grande, com 500 é quase nada. É por isso que a distinção importa em amostra pequena, que é justamente o caso do trabalho de escola.

Como calcular o desvio padrão

Com a lista 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9, os passos são estes, e a tabela mostra os dois do meio valor por valor:

1. A média é 40 ÷ 8 = 5.
2. Os desvios em relação à média são −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4.
3. Os quadrados são 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, que somam 32.
4. Populacional: 32 ÷ 8 = 4 de variância, e a raiz dá desvio 2.
5. Amostral: 32 ÷ 7 = 4,5714 de variância, e a raiz dá desvio 2,1381.

$$\begin{array}{rl}\sigma & =\sqrt{\frac{32}{8}}=\sqrt{4}=2\\ s& =\sqrt{\frac{32}{7}}\approx \sqrt{\mathrm{4,5714}}\approx \mathrm{2,1381}\end{array}$$

Elevar ao quadrado antes de somar não é capricho: sem isso os desvios positivos e negativos se cancelariam e a soma daria zero para qualquer lista. É por isso que a coluna do meio da tabela sempre soma zero: ela é a conferência da média, e um número diferente de zero ali quer dizer que a média saiu errada.

A tabela abaixo do painel faz esses três passos com os seus números, valor por valor: quanto cada um se afasta da média, esse afastamento ao quadrado, e a soma dos dois no fim. É ela que se copia para o caderno.

Variância e desvio padrão: qual é qual

A variância é a média dos quadrados dos desvios; o desvio padrão é a raiz dela. A variância vem primeiro na conta, mas o desvio é o que se lê, porque está na mesma unidade dos dados. Variância de notas sai em “pontos ao quadrado”, que não significa nada; o desvio sai em pontos.

Média, mediana e amplitude

Vêm junto porque descrevem a mesma lista por outros ângulos. A mediana é o valor do meio e não se abala com extremos: na lista 1, 3, 100 a média é 34,67 e a mediana é 3. A amplitude é a distância entre o maior e o menor, e é a medida de dispersão mais simples que existe, útil como conferência rápida.

O desvio é grande? Depende do tamanho dos números

Um desvio de 2 não diz nada sozinho. Sobre uma média de 5, ele é enorme: os valores variam quase metade do tamanho deles. Sobre uma média de 500, é quase nada.

Quem responde isso é o coeficiente de variação, que é o desvio dividido pela média, escrito em porcentagem. Na lista do exemplo:

$$\begin{array}{rl}\text{CV}& =\frac{2}{5}\times 100=\text{40\%}\end{array}$$

São 40%, que é muita dispersão. Abaixo de 15% costuma-se ler como dados homogêneos, e acima de 30% como heterogêneos, mas esses cortes são convenção de livro, e não regra: o que é muito varia com o assunto medido.

Ele só aparece quando a média é positiva. Com média zero a divisão não existe, e com média negativa o sinal inverteria a leitura.

Perguntas frequentes

Por que com um valor só a calculadora recusa?

Porque o desvio amostral divide por n−1, que com um valor é zero. E o populacional de um valor é sempre zero, o que é verdade e não informa nada: um valor não tem como variar. Informe pelo menos dois.

O desvio pode ser negativo?

Não. Ele é uma raiz quadrada de uma soma de quadrados, então é sempre zero ou positivo. Zero significa que todos os valores são iguais.

Qual a diferença entre este resultado e o da minha calculadora científica?

Provavelmente nenhuma, mas confira qual tecla você usou: nelas o populacional costuma ser σn e o amostral σn−1. Muita gente lê um pensando ter calculado o outro.

Posso usar valores negativos?

Pode. Temperatura, saldo e variação percentual são negativos com frequência, e a conta funciona igual.