Calculadora de Raiz Quadrada

O que é a raiz quadrada

A raiz quadrada de um número é o valor que, multiplicado por ele mesmo, dá esse número. √49 = 7, porque 7 × 7 = 49. O símbolo √ é o radical, e o número dentro dele é o radicando. É a conta inversa de elevar ao quadrado, e por isso é a medida do lado de um quadrado pela área: um quadrado de 49 m² tem 7 m de lado.

A raiz quadrada de 49 é 7 ou −7?

É 7. O símbolo √ indica a raiz principal, que por definição é a não negativa. O que tem duas respostas é a equação x² = 49, porque tanto 7 quanto −7 elevados ao quadrado dão 49:

$$\begin{array}{rl}{x}^2=49& ⟹x=\pm \sqrt{49}=\pm 7\end{array}$$

O ± aparece quando se resolve a equação, e não dentro do radical. Escrever √49 = ±7 é o erro, e é por isso que a fórmula da equação do segundo grau traz o ± do lado de fora da raiz.

Para que serve a raiz quadrada

Ela aparece sempre que se tem uma área ou um quadrado e se quer o comprimento. Três usos que caem em prova e em obra:

• Lado pela área: um terreno quadrado de 150 m² tem √150 = 5√6 ≈ 12,25 m de lado.
• Diagonal do quadrado: é o lado vezes √2. Um piso de 60 cm de lado tem 60 × 1,4142 ≈ 84,85 cm de diagonal.
• Teorema de Pitágoras: a hipotenusa é a raiz da soma dos quadrados dos catetos. Com catetos de 3 m e 4 m, √(9 + 16) = √25 = 5 m, o esquadro de pedreiro 3, 4 e 5.

Na estatística, o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, pelo mesmo motivo: a variância está em unidade ao quadrado, e a raiz devolve a unidade original.

O decimal não é a resposta que a prova quer

A raiz quadrada de 72 é 8,485281374. Esse número está em qualquer calculadora, inclusive na do celular, e não é o que o exercício pede. O que ele pede é a forma simplificada:

$$\begin{array}{rl}\sqrt{72}& =6\sqrt{2}\end{array}$$

É um resultado exato, sem arredondamento nenhum, e é o que permite continuar a conta. Numa soma de radicais, 6√2 + 3√2 dá 9√2; com os decimais, a soma sai com casas erradas acumuladas.

Como simplificar uma raiz quadrada

A propriedade por trás é simples: a raiz de um produto é o produto das raízes. Então qualquer fator que apareça ao quadrado dentro da raiz sai dela inteiro. O caminho é fatorar em primos:

$$\begin{array}{rl}72& =2\times 2\times 2\times 3\times 3\\ & =2^3\times 3^2\end{array}$$

Agora conte os pares. Há um par de 2, sobrando um 2 solto, e um par de 3. Cada par sai valendo um fator:

$$\begin{array}{rl}\sqrt{72}& =\sqrt{2^2\times 3^2\times 2}\\ & =2\times 3\times \sqrt{2}=6\sqrt{2}\end{array}$$

A regra geral, que serve para qualquer índice: divida o expoente de cada primo pelo índice da raiz; o quociente sai, o resto fica. Em 2³ sob raiz quadrada, 3 ÷ 2 dá quociente 1 e resto 1, então um 2 sai e um 2 fica. As raízes simplificadas que mais aparecem em exercício:

Quadrados perfeitos: quando a raiz é exata

Quando todos os expoentes da fatoração são pares, nada fica dentro e a raiz é um número inteiro. Esse número chama-se quadrado perfeito:

Decorar essa tabela resolve metade dos exercícios de raiz, porque a simplificação de qualquer número passa por reconhecer o maior quadrado perfeito que cabe dentro dele: em 72, é o 36, e √72 = √36 × √2 = 6√2.

Como estimar a raiz quadrada sem calculadora

Para saber entre que inteiros uma raiz cai, basta achar os dois quadrados perfeitos que cercam o número. √72 está entre 8 e 9, porque 8² = 64 e 9² = 81. E está mais perto do 9, porque 72 está mais perto de 81 do que de 64.

A página mostra essa estimativa junto do decimal, porque é ela que permite perceber na hora que um resultado saiu errado.

Como calcular a raiz enésima

A raiz enésima, ou raiz de índice n, é o número que multiplicado por ele mesmo n vezes dá o radicando. O segundo bloco da página faz para ela a mesma conta da raiz quadrada, e a regra muda só no tamanho dos grupos: na raiz cúbica os fatores saem em trios, na quarta em grupos de quatro. 27 = 3³, um trio de 3, então ∛27 = 3. Raiz cúbica de 54:

$$\begin{array}{rl}54& =2\times 3\times 3\times 3=2\times 3^3\\ \sqrt[3]{54}& =3\sqrt[3]{2}\approx \mathrm{3,7798}\end{array}$$

O trio de 3 sai valendo um 3, e o 2 solto fica dentro. Na raiz quarta de 48 = 2⁴ × 3, o grupo de quatro 2 sai valendo 2, e fica ⁴√48 = 2 ⁴√3 ≈ 2,6321. Os cubos perfeitos, que dão raiz cúbica exata:

Soma e multiplicação de radicais

Radicais só se somam quando são semelhantes, com o mesmo índice e o mesmo radicando depois de simplificados. Por isso simplificar vem primeiro: √8 e √18 não parecem semelhantes, e são.

$$\begin{array}{rl}\sqrt{8}+\sqrt{18}& =2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}\end{array}$$

Na multiplicação e na divisão não há essa exigência, basta o mesmo índice: os radicandos se multiplicam ou se dividem dentro de uma raiz só.

$$\begin{array}{rl}\sqrt{2}\times \sqrt{8}& =\sqrt{16}=4\\ \sqrt{72}÷\sqrt{2}& =\sqrt{36}=6\end{array}$$

O erro mais comum é somar dentro da raiz. √9 + √16 não é √25: a primeira conta dá 3 + 4 = 7, a segunda dá 5. A raiz distribui sobre produto e quociente, e nunca sobre soma.

Como racionalizar o denominador

Racionalizar é tirar a raiz do denominador de uma fração, multiplicando em cima e embaixo pelo que a elimina. Com uma raiz quadrada sozinha embaixo, multiplica-se por ela mesma:

$$\begin{array}{rl}\frac{6}{\sqrt{3}}& =\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}\end{array}$$

Quando o denominador é uma soma ou uma diferença com raiz, o fator é o conjugado, a mesma expressão com o sinal trocado, porque (a − b)(a + b) = a² − b² e o quadrado elimina a raiz:

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{\sqrt{3}-1}& =\frac{\sqrt{3}+1}{3-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}\approx \mathrm{1,366}\end{array}$$

O valor não muda, 1 ÷ (√3 − 1) também dá 1,366. Muda só a forma, que é a que a prova aceita como resposta final.

Raiz quadrada de fração e de número decimal

A raiz de uma fração é a raiz do numerador sobre a raiz do denominador: √(9/16) = 3/4. No decimal, a página aceita o número com vírgula e diz quando a raiz é exata: √2,25 = 1,5, porque 1,5 × 1,5 = 2,25.

Entre 0 e 1 a raiz é maior que o número, o contrário do que acontece acima de 1: √0,25 = 0,5 e √0,1 ≈ 0,3162. É o resultado que mais parece errado sem estar. A forma simplificada, por outro lado, só existe para radicando inteiro, porque é a fatoração em primos que a produz.

Raiz como potência de expoente fracionário

Toda raiz pode ser escrita como potência: a raiz de índice n é o expoente 1/n, e a raiz de uma potência divide o expoente pelo índice.

$$\begin{array}{rl}\sqrt{\mathrm{a}}& =a^{\frac{1}{2}}\\ \sqrt[3]{8^2}& =8^{\frac{2}{3}}=4\end{array}$$

É a forma que calculadora científica e planilha usam: =72^(1/2) dá 8,4853, e =8^(2/3) dá 4.

Como calcular a raiz quadrada à mão

Depois de cercar a raiz entre dois inteiros, o método de Herão acerta as casas decimais: parta de um palpite, divida o número pelo palpite e tire a média entre os dois. Para √72, começando em 8,5:

$$\begin{array}{rl}\text{1ª volta}& =\frac{\mathrm{8,5}+72÷\mathrm{8,5}}{2}\approx \mathrm{8,485294}\\ \text{2ª volta}& \approx \mathrm{8,4852814}\end{array}$$

O valor verdadeiro é 8,48528137. Cada volta mais ou menos dobra o número de casas certas, e duas voltas bastam para qualquer conta de caderno.

Raiz quadrada de número negativo

√−9 não existe entre os números reais: nenhum real elevado ao quadrado dá negativo, porque menos vezes menos dá mais. Mas ∛−8 existe e vale −2, porque (−2) × (−2) × (−2) = −8. Com um número ímpar de fatores negativos, o sinal sobrevive.

A regra é do índice, e não do número: índice par recusa radicando negativo, índice ímpar aceita. Na raiz quadrada de negativo, a página informa que raiz real não há e escreve ao lado a forma imaginária, √−9 = 3i, para quem precisa dela em curso técnico ou em números complexos.

Perguntas frequentes

Como simplificar uma raiz quadrada?

Fatore o número em primos, agrupe os fatores iguais em pares, e tire um fator de cada par para fora da raiz. O que não formou par fica dentro. Em √72 = 2³ × 3², sai 2 × 3 = 6 e fica 2, resultando em 6√2.

Qual a raiz quadrada de 2?

Cerca de 1,4142. Não simplifica, porque 2 é primo, e é irracional: as casas decimais não terminam nem se repetem.

Qual a raiz quadrada de um número negativo?

Entre os números reais, não existe. Entre os complexos, é a raiz do valor absoluto multiplicada por i, a unidade imaginária. Assim √−9 = 3i.

Como calcular raiz cúbica?

Procure o número que, multiplicado por ele mesmo três vezes, dá o radicando. Pela fatoração, agrupe os primos em trios em vez de pares: 27 = 3³, um trio de 3, então ∛27 = 3.

Todo número tem raiz quadrada exata?

Não. Só os quadrados perfeitos, que são os números cuja fatoração tem todos os expoentes pares. Nos demais a raiz é um número irracional, com casas decimais infinitas e sem repetição.

Qual a raiz quadrada de 3?

Cerca de 1,7321. Como a de 2, não simplifica e é irracional. Ela aparece na diagonal do cubo e na altura do triângulo equilátero.

Como racionalizar uma fração com raiz no denominador?

Multiplique numerador e denominador pela raiz do denominador, ou pelo conjugado quando ele for uma soma ou diferença. 1/√2 vira √2/2, que vale os mesmos 0,7071.

Como fazer raiz quadrada no Excel?

Com a função RAIZ: =RAIZ(72) devolve 8,4853. Para outros índices, use a potência de expoente fracionário, =27^(1/3) para a raiz cúbica. A forma simplificada, 6√2, a planilha não dá; é a fatoração desta página que a produz.

Por que a raiz de 0,25 é maior que 0,25?

Porque multiplicar dois números menores que 1 dá um resultado menor que eles: 0,5 × 0,5 = 0,25. A raiz desfaz essa conta, e volta ao 0,5, que é maior.

Posso somar raízes com radicandos diferentes?

Só depois de simplificar, e só se ficarem iguais: √8 + √18 = 5√2. √3 + √2 não junta, e vale cerca de 3,1463, e não √5.