Calculadora de Hipotenusa

O que é a hipotenusa

Num triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa, e os outros dois, que formam o ângulo reto, são os catetos. A hipotenusa é sempre o maior dos três lados. A página resolve o triângulo retângulo inteiro: com dois valores quaisquer, ela acha os três lados, os dois ângulos agudos, a área e o perímetro.

Teorema de Pitágoras: como calcular a hipotenusa e o cateto

O teorema diz que o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos, e a hipotenusa é a raiz dessa soma. Catetos de 3 cm e 4 cm:

$$\begin{array}{rl}{c}^2& =3^2+4^2=9+16=25\\ c& =\sqrt{25}=\text{5 cm}\end{array}$$

O teorema só vale no triângulo retângulo. O caminho de volta acha o cateto que falta, subtraindo em vez de somar. Hipotenusa de 13 cm e cateto de 12 cm:

$$\begin{array}{rl}b& =\sqrt{{13}^2-{12}^2}=\sqrt{169-144}\\ & =\sqrt{25}=\text{5 cm}\end{array}$$

A página recusa um cateto maior ou igual à hipotenusa, porque ali a subtração dá zero ou negativo.

Por que o teorema é verdadeiro

A demonstração mais simples é por áreas. Monte um quadrado de lado a + b e coloque dentro dele quatro cópias do triângulo, uma em cada canto. O que sobra no meio é um quadrado de lado c, de área c². Rearranjando os mesmos quatro triângulos dentro do mesmo quadrado grande, a sobra vira dois quadrados, de área a² e b². Como o quadrado grande e os triângulos são os mesmos nas duas montagens, as sobras têm a mesma área: c² = a² + b².

Como preencher: dois valores quaisquer

Digite dois dos sete valores que você tem, e a página escreve os outros cinco dentro dos campos, em azul: os dois catetos, um cateto e a hipotenusa, um lado e um ângulo, a área ou o perímetro com um lado, ou a área e o perímetro. Cada campo tem a sua unidade no menu ao lado do número, e trocar a unidade de um campo azul reescreve o valor nela.

Valem sempre os dois últimos campos que você digitou. Se digitar num campo azul, ele passa a ser um dos dois, e o mais antigo dos que você tinha digitado vira resultado. Com um valor só o triângulo não sai, e a página pede o segundo.

As letras seguem o desenho: o cateto a em pé, o cateto b deitado, a hipotenusa c de frente para o ângulo reto, o ângulo α entre b e c, e o ângulo β entre a e c. Com um cateto de 5 cm e α de 60°, a página dá b = 2,887 cm, c = 5,774 cm e β = 30°.

Hipotenusa por um lado e um ângulo

Com um ângulo agudo e um lado, entram as razões trigonométricas do triângulo retângulo. O seno de α é o cateto oposto sobre a hipotenusa, o cosseno é o cateto do lado sobre a hipotenusa, e a tangente é um cateto sobre o outro:

$$\begin{array}{rl}\text{sen}\alpha & =\frac{a}{c}\\ \text{cos}\alpha & =\frac{b}{c}\\ \text{tg}\alpha & =\frac{a}{b}\end{array}$$

Daí a hipotenusa é c = a ÷ sen α, ou c = b ÷ cos α. Os dois ângulos agudos somam 90°, e por isso β é sempre 90° menos α. Uma escada que alcança 10 m de altura com 75,5° em relação ao chão:

$$\begin{array}{rl}c& =\frac{10}{\text{sen}\mathrm{75,5}°}\approx \text{10,33 m}\\ b& =\frac{10}{\text{tg}\mathrm{75,5}°}\approx \text{2,586 m}\end{array}$$

A escada tem 10,33 m, e o pé dela fica a 2,586 m da parede. Com os dois ângulos só, o triângulo não sai: há triângulos de todos os tamanhos com os mesmos ângulos.

Hipotenusa pela área ou pelo perímetro

A área do triângulo retângulo é metade do produto dos catetos, a × b ÷ 2, e o perímetro é a soma dos três lados. Com a área e um cateto, o outro cateto é 2 × área ÷ cateto, e a hipotenusa sai por Pitágoras. Com a área e a hipotenusa, os catetos são as duas soluções de uma equação do segundo grau: área de 6 cm² e hipotenusa de 5 cm dão catetos de 4 cm e 3 cm, porque 4 × 3 ÷ 2 = 6 e 4² + 3² = 25. Nem toda área cabe numa hipotenusa: a maior é c² ÷ 4, com os catetos iguais, e a página recusa o que passa disso.

Com o perímetro e um cateto a, o outro cateto sai de uma fórmula direta. Perímetro de 12 cm e cateto de 3 cm:

$$\begin{array}{rl}b& =\frac{P\times (P-2a)}{2\times (P-a)}\\ & =\frac{12\times 6}{2\times 9}=\text{4 cm}\end{array}$$

A hipotenusa é o que sobra do perímetro, 12 − 3 − 4 = 5 cm. Com a área e o perímetro juntos, a hipotenusa é (P² − 4 × área) ÷ 2P.

Triplas pitagóricas

Algumas combinações de lados inteiros satisfazem o teorema exatamente. São as triplas pitagóricas, e quem as conhece resolve muitos exercícios de cabeça. Múltiplos de uma tripla também são triplas: 6, 8 e 10 é o dobro de 3, 4 e 5.

Para que serve calcular a hipotenusa

Conferir se um canto está no esquadro (a regra do pedreiro: 3 m num lado, 4 m no outro, e a diagonal tem de dar 5 m), achar o comprimento de uma escada pela altura e pelo ângulo, a inclinação de uma rampa ou de um telhado, a diagonal de uma tela ou de um cômodo, e resolver o exercício de geometria com a conta escrita. Para a área de outras figuras, a calculadora de área; para raízes que não são exatas, a calculadora de raiz quadrada.

Perguntas frequentes

Qual é a hipotenusa de um triângulo de catetos 6 e 8?

10, porque 6² + 8² = 36 + 64 = 100, e √100 = 10. É a tripla 3, 4 e 5 multiplicada por dois.

O teorema de Pitágoras vale para qualquer triângulo?

Não, só para o triângulo retângulo. Num triângulo qualquer a relação entre os lados envolve o ângulo, e é a lei dos cossenos, da qual Pitágoras é o caso do ângulo de 90°.

Como saber qual lado é a hipotenusa?

É o lado que não encosta no ângulo reto, e o maior dos três. Os dois lados que formam o ângulo reto são os catetos.

Como achar a hipotenusa com o seno do ângulo?

Divida o cateto oposto ao ângulo pelo seno dele. Com cateto de 5 cm de frente para um ângulo de 60°, a hipotenusa é 5 ÷ sen 60° = 5,774 cm. Na página, digite o cateto a e o ângulo α.

Por que a página pede só dois valores?

Porque dois valores bastam para fixar o triângulo retângulo, que já tem um ângulo de 90°. Um terceiro valor só poderia repetir o que os dois dizem ou contradizê-los. Por isso, quando você digita num terceiro campo, a página fica com os dois últimos que você digitou e recalcula o outro.

E se a hipotenusa não der número inteiro?

É o caso mais comum. Com catetos de 1 e 1, a hipotenusa é √2, cerca de 1,414. A página escreve o valor com quatro algarismos significativos.