Calculadora de Área

O que é área

Área é quanto de superfície uma figura cobre, contada em quadrados de lado 1. Um retângulo de 5 m por 3 m cabe exatamente 15 quadrados de 1 m de lado, e é daí que vem a conta: a área do retângulo é base vezes altura. As outras figuras saem dessa mesma ideia, cortando e rearrumando pedaços.

$$\begin{array}{rl}A& =5\times 3=\text{15 m²}\end{array}$$

A área se mede sempre em unidades ao quadrado: cm², m², km², ou em hectares, que são 10.000 m². A página calcula a área de dezessete figuras planas e da superfície de dois sólidos, o cilindro e a esfera, e para cada uma pede só as medidas que a fórmula usa.

Área do retângulo e do quadrado

O retângulo é a figura de partida: base vezes altura. O quadrado é o retângulo de lados iguais, e a área é o lado ao quadrado. Um cômodo de 5 m por 3 m tem 15 m², e um quadrado de 4 m de lado tem:

$$\begin{array}{rl}A& =4^2=\text{16 m²}\end{array}$$

As duas abas mostram também o perímetro, que é o contorno: 16 m no quadrado de 4 m, e 16 m no cômodo de 5 m por 3 m. As mesmas medidas dão área e perímetro diferentes, e confundir os dois é o erro mais comum de quem compra piso ou rodapé.

Fórmulas de área das figuras planas

As dezenove fórmulas da página, com o que é preciso medir em cada figura:

Escolhida a figura, a página desenha a forma com as medidas que você digitou, com as letras da fórmula e o valor de cada uma, e o desenho muda enquanto você digita. Quando uma medida é muito maior que a outra, um retângulo de 50 m por 1 m, por exemplo, a proporção do desenho é limitada para os números caberem, e a legenda avisa.

Como calcular a área do triângulo

Dois triângulos iguais formam um paralelogramo, e por isso a área do triângulo é a metade de base vezes altura. A altura é a distância do vértice até a base, em ângulo reto; num triângulo de base 6 m e altura 4 m a área é 6 × 4 ÷ 2 = 12 m².

$$\begin{array}{rl}A& =\frac{6\times 4}{2}=\text{12 m²}\end{array}$$

Quando a altura não é conhecida, mas os três lados são, a fórmula de Herão resolve sem ela: some os lados e divida por dois para ter o semiperímetro p, e a área é a raiz de p × (p − a) × (p − b) × (p − c). Para lados 3, 4 e 5:

$$\begin{array}{rl}p& =\frac{3+4+5}{2}=6\\ A& =\sqrt{6\times 3\times 2\times 1}=6\end{array}$$

A página recusa três lados que não fecham um triângulo, como 1, 2 e 3: o maior lado precisa ser menor que a soma dos outros dois.

Com dois lados e o ângulo entre eles, a altura relativa ao lado a é b × sen γ, e a área fica a × b × sen γ ÷ 2: lados de 5 m e 7 m com 60° entre eles dão:

$$\begin{array}{rl}A& =\frac{5\times 7\times \text{sen}60°}{2}\approx \text{15,16 m²}\end{array}$$

Com um lado e os ângulos das duas pontas dele, o terceiro ângulo é o que falta para 180°, e a lei dos senos dá os outros dois lados. A página recusa ângulos que somam 180° ou mais, que não deixam lugar para o terceiro vértice.

Área do círculo, do semicírculo e do setor circular

A fórmula do círculo pede o raio, que vai do centro até a borda. Quem mede um objeto quase sempre mede o diâmetro, de uma borda à outra passando pelo centro, e usar o diâmetro no lugar do raio quadruplica a área. Por isso a aba do círculo pergunta qual dos dois você tem e escreve, no resultado, qual foi usado e quanto vale o outro. Um círculo de 10 cm de diâmetro tem raio de 5 cm e área de π × 5² = 78,54 cm².

$$\begin{array}{rl}A& =\pi \times 5^2=25\pi \approx \text{78,54 cm²}\end{array}$$

O semicírculo é a metade do círculo, e o setor circular é a fatia de ângulo central θ: a área é a fração θ ÷ 360 da área do círculo, e o comprimento do arco é a mesma fração da circunferência. Um setor de 60° num círculo de raio 6 cm é um sexto do círculo:

$$\begin{array}{rl}A& =\frac{60}{360}\times \pi \times 6^2=6\pi \approx \text{18,85 cm²}\end{array}$$

Para calcular o raio a partir do comprimento da borda, use a calculadora de circunferência.

Área da elipse e da coroa circular

A elipse é um círculo esticado: no lugar de um raio ela tem dois semieixos, a e b, e a área é π × a × b. Com a = b a elipse é um círculo e a fórmula volta a ser π × r². Uma elipse de semieixos 5 m e 3 m tem 15π = 47,12 m². O contorno da elipse não tem fórmula exata simples, e por isso a página não dá o perímetro dela.

A coroa circular, ou anel, é a faixa entre dois círculos de mesmo centro: a área é a do círculo de fora menos a do de dentro, π × (R² − r²). Uma arruela de 24 mm de diâmetro externo e 13 mm de interno tem raios de 12 mm e 6,5 mm, e área de:

$$\begin{array}{rl}A& =\pi \times ({12}^2-{\mathrm{6,5}}^2)\approx \text{319,66 mm²}\end{array}$$

O erro comum é fazer π × (R − r)², que dá a área de um círculo do tamanho da largura da coroa.

Área do trapézio, do paralelogramo e do losango

O trapézio tem dois lados paralelos, as bases. Uma diagonal o corta em dois triângulos de mesma altura, um sobre cada base, e somar os dois dá (B + b) × h ÷ 2. Com as bases iguais o trapézio vira paralelogramo, e a mesma fórmula devolve base vezes altura.

Bases de 8 m e 5 m com altura de 4 m:

$$\begin{array}{rl}A& =\frac{(8+5)\times 4}{2}=\text{26 m²}\end{array}$$

No paralelogramo, o triângulo que sobra de um lado encaixa no buraco do outro e forma um retângulo de mesma base e mesma altura. A armadilha é medir o lado inclinado no lugar da altura, que deixa a área maior do que é. Com os lados e o ângulo entre eles, a altura é b × sen α e a área é a × b × sen α; com as diagonais e o ângulo entre elas, a área é d₁ × d₂ × sen θ ÷ 2.

No losango as diagonais se cruzam ao meio em ângulo reto e dividem a figura em quatro triângulos retângulos iguais, o que dá D × d ÷ 2. Como o losango é um paralelogramo de lados iguais, com o lado e a altura a área é ℓ × h, e com o lado e um ângulo, ℓ² × sen α. A aba calcula também o lado ou as diagonais que você não informou.

Área da pipa e do quadrilátero pelas diagonais

A pipa, ou deltoide, tem dois pares de lados vizinhos iguais, e as diagonais dela se cruzam em ângulo reto. A área é e × f ÷ 2, a mesma conta do losango, e não depende do ponto em que as diagonais se cruzam: a pipa de papel de varetas de 80 cm e 60 cm tem 2.400 cm². Com os dois lados diferentes e o ângulo entre eles, a pipa são dois triângulos iguais e a área é a × b × sen γ.

Todo quadrilátero convexo tem área igual à metade do produto das diagonais vezes o seno do ângulo entre elas, d₁ × d₂ × sen θ ÷ 2. As quatro partes que as diagonais formam são triângulos com dois lados sobre as diagonais, e somar as quatro áreas dá a fórmula. Com as diagonais perpendiculares, sen 90° = 1 e a conta vira a do losango e a da pipa.

Área dos polígonos regulares: pentágono, hexágono e octógono

Um polígono regular de n lados se divide em n triângulos iguais com vértice no centro. A base de cada triângulo é o lado ℓ, e a altura é o apótema, a distância do centro até o meio de um lado. Somando os n triângulos, a área é o semiperímetro vezes o apótema, n × ℓ × ap ÷ 2.

O apótema sai do lado pela tangente de metade do ângulo central: ap = ℓ ÷ (2 × tg(180° ÷ n)). No hexágono regular o ângulo é 30°, o apótema é ℓ × √3 ÷ 2 e a área fica 3 × √3 × ℓ² ÷ 2: seis triângulos equiláteros.
Um hexágono de lado 10 cm tem:

$$\begin{array}{rl}A& =\frac{3\times \sqrt{3}\times {10}^2}{2}\approx \text{259,81 cm²}\end{array}$$

O pentágono de lado 4 cm tem apótema de 2,753 cm e área de 27,53 cm², e o octógono de lado 2 m tem 2 × (1 + √2) × 4 = 19,31 m². A aba do polígono regular faz a mesma conta para qualquer número de lados.

Área do cilindro e da esfera

A superfície de um cilindro reto, aberta e esticada na mesa, são dois círculos, as bases, e um retângulo, a parte lateral. A base do retângulo é o contorno do círculo, 2 × π × r, e a altura é a do cilindro, então a área lateral é 2 × π × r × h e a das duas bases é 2 × π × r². Somando, a área total é 2 × π × r × (r + h). Uma lata de raio 3,3 cm e altura 12 cm tem 248,81 cm² de lateral e 68,42 cm² de tampa e fundo, 317,24 cm² de chapa ao todo:

$$\begin{array}{rl}A& =2\times \pi \times \mathrm{3,3}\times (\mathrm{3,3}+12)\\ & \approx \text{317,24 cm²}\end{array}$$

A aba do cilindro dá as três áreas, e a página diz se foi usado o raio ou o diâmetro.

A esfera não se abre sobre um plano sem rasgar, e a área dela vem de outro caminho: 4 × π × r², quatro vezes a área do círculo de mesmo raio. Uma bola de raio 11 cm tem 4 × π × 11² ≈ 1.520,53 cm² de superfície, e uma esfera do raio médio da Terra, 6.371 km, tem cerca de 510 milhões de km². No desenho, a linha tracejada é a metade do contorno que fica escondida atrás do sólido. Para o espaço dentro deles, em litros, use a calculadora de volume.

Unidades de área: por que 1 m² são 10.000 cm²

O metro tem 100 centímetros, mas o metro quadrado tem 100 × 100 = 10.000 centímetros quadrados, porque o quadrado de 1 m de lado se divide em 100 fileiras de 100 quadradinhos de 1 cm. É o erro mais comum com área: converter como se fosse comprimento, e achar 3,84 m² onde o certo é 0,0384 m².

$$\begin{array}{rl}\text{1 m²}& =100\times 100=\text{10.000 cm²}\\ \text{384 cm²}& =\frac{384}{10.000}\text{m²}\\ & =\text{0,0384 m²}\end{array}$$

A página faz a conta na unidade das medidas e muda a unidade do resultado uma vez, no fim, ao quadrado. Um hectare são 10.000 m², e um quilômetro quadrado são 100 hectares. Para mudar de unidade uma área que você já tem, o conversor de área faz só isso.

Para que serve calcular a área

Saber quantos metros quadrados de piso, grama ou tinta uma superfície pede, a área de um terreno em hectares, o tampo redondo ou oval de uma mesa, a chapa de uma arruela, e resolver o exercício de geometria com a conta escrita para conferir. Para o espaço dentro de uma caixa, de um cilindro ou de uma esfera, a calculadora de volume; para o lado que falta num triângulo retângulo, a calculadora de hipotenusa.

Perguntas frequentes

Como calcular a área de um terreno irregular?

Divida o terreno em figuras que a página calcula, como retângulos, triângulos e trapézios, calcule cada uma e some. Um terreno de quatro lados que não é retângulo pode ser cortado por uma diagonal em dois triângulos, e com os três lados de cada um a aba do triângulo usa a fórmula de Herão. Se você tem as duas diagonais e o ângulo entre elas, a aba do quadrilátero resolve de uma vez.

Qual a diferença entre área e perímetro?

Área é a superfície de dentro, em unidades ao quadrado (m²); perímetro é o contorno, em unidades de comprimento (m). Um quadrado de 4 m de lado tem 16 m² de área e 16 m de perímetro: o número é o mesmo por coincidência, e as unidades mostram que são coisas diferentes.

A área do triângulo pode ser calculada sem a altura?

Pode, com os três lados, pela fórmula de Herão, ou com dois lados e o ângulo entre eles. As duas opções estão no menu “Você sabe” da aba do triângulo.

Por que a área do círculo deu quatro vezes maior?

Porque o diâmetro foi usado no lugar do raio. Como o raio entra ao quadrado, dobrar a medida quadruplica a área. Escolha “Diâmetro” na aba do círculo e a página divide por dois antes da conta. O mesmo vale para os eixos da elipse e para a coroa circular.

Qual a diferença entre área e volume do cilindro?

A área é a chapa ou o papel que cobre o cilindro por fora, em cm² ou m²; o volume é quanto cabe dentro, em cm³ ou litros. A lata de raio 3,3 cm e altura 12 cm gasta 317,24 cm² de chapa e guarda 410,54 cm³, cerca de 410 mL.

O que é o apótema?

É a distância do centro de um polígono regular até o meio de qualquer um dos lados, em ângulo reto. É a altura dos triângulos em que o polígono se divide, e por isso entra na área: metade do perímetro vezes o apótema.