Calculadora de Volume

O que é volume

Volume é quanto espaço um sólido ocupa, contado em cubos de aresta 1. Uma caixa de 3 × 2 × 1 m comporta 6 cubos de 1 m de aresta, e por isso o volume do paralelepípedo é comprimento vezes largura vezes altura. Os sólidos redondos seguem a mesma lógica: área da base vezes altura, com um terço a menos quando o sólido afina até uma ponta.

$$\begin{array}{rl}V& =3\times 2\times 1=\text{6 m³}\end{array}$$

O volume se mede em unidades ao cubo, cm³ ou m³, ou em litros, que é a unidade de quem mede o que cabe dentro. A página calcula o volume de catorze sólidos e dá sempre o resultado em litros junto.

Volume do paralelepípedo e do cubo

O paralelepípedo, a forma de uma caixa, de um aquário ou de uma piscina retangular, é o sólido de partida: comprimento vezes largura vezes altura. Aquário de 60 × 30 × 40 cm:

$$\begin{array}{rl}V& =60\times 30\times 40=\text{72.000 cm³}\\ & =\text{72 litros}\end{array}$$

O cubo é o paralelepípedo de arestas iguais, e o volume é a aresta ao cubo. Um cubo de 10 cm de aresta tem 10³ = 1.000 cm³, que é exatamente 1 litro. Para achar a aresta a partir do volume, a conta é a raiz cúbica.

Fórmulas de volume dos sólidos

As catorze fórmulas da página, com o que é preciso medir em cada sólido:

E as medidas que cada fórmula pede:

Escolhido o sólido, a página desenha a forma em perspectiva com as medidas que você digitou, com a letra de cada medida da fórmula e o valor dela, e as arestas escondidas atrás do sólido tracejadas. Quando uma medida é muito maior que as outras, a proporção do desenho é limitada para os números caberem, e a legenda avisa.

Como calcular o volume do cilindro

O cilindro é uma pilha de círculos iguais: a área da base, π × r², vezes a altura. Uma lata de raio 10 cm e altura 30 cm tem:

$$\begin{array}{rl}V& =\pi \times {10}^2\times 30\approx \text{9.424,78 cm³}\\ & \approx \text{9,425 litros}\end{array}$$

O raio é a metade do diâmetro, e medir o diâmetro de uma lata e usá-lo como raio quadruplica o volume; a aba pergunta qual dos dois você tem e diz, no resultado, qual foi usado.

O tubo, ou cilindro oco, é o cilindro de fora menos o furo: π × (R² − r²) × h. É o volume da parede, o material de um cano ou de uma manilha. Um cano de 11 cm de diâmetro por fora e 10 cm por dentro, com 1 m, tem os raios de 5,5 cm e 5 cm:

$$\begin{array}{rl}V& =\pi \times ({\mathrm{5,5}}^2-5^2)\times 100\\ & \approx \text{1.649 cm³}\end{array}$$

São 1,649 litro de parede. Para o que cabe dentro do cano, use a aba do cilindro com o diâmetro de dentro.

Volume da esfera, do hemisfério e da calota esférica

A esfera de raio r tem 4 ÷ 3 × π × r³. Com raio de 10 cm:

$$\begin{array}{rl}V& =\frac{4}{3}\times \pi \times {10}^3\approx \text{4.188,79 cm³}\end{array}$$

São 4,189 litros. A dedução pelo Princípio de Cavalieri compara a esfera com um cilindro de mesma altura do qual se tiram dois cones: as fatias dos dois sólidos têm a mesma área em toda altura, e por isso os volumes são iguais. Como o raio entra ao cubo, dobrar o raio multiplica o volume por oito. O hemisfério, a meia esfera de uma tigela ou de uma cúpula, tem a metade: 2 ÷ 3 × π × r³.

A calota esférica é o pedaço da esfera cortado por um plano, com altura h. O volume dela é π × h² × (3r − h) ÷ 3: o setor esférico, que vai do centro da esfera até a calota, menos o cone que sobra embaixo. Uma calota de 4 cm de altura numa esfera de raio 10 cm tem:

$$\begin{array}{rl}V& =\frac{\pi \times 4^2\times (30-4)}{3}\approx \text{435,63 cm³}\end{array}$$

Quem mede um objeto quase nunca sabe o raio da esfera, mas mede o raio da base: com ele, a mesma calota é π × h × (3a² + h²) ÷ 6, e a aba aceita os dois caminhos.

Volume do elipsoide e da cápsula

O elipsoide é a esfera esticada nos três eixos: no lugar de um raio, três semieixos a, b e c, e o volume é 4 ÷ 3 × π × a × b × c. Com os três iguais a r, volta a ser a esfera. Um ovo de semieixos 3 cm, 2 cm e 2 cm tem cerca de 50 cm³.

A cápsula é um cilindro com meia esfera em cada ponta, o formato de um comprimido, de um botijão ou de um tanque. As duas pontas juntas formam uma esfera inteira, então o volume é o do cilindro mais o da esfera: π × r² × (4 ÷ 3 × r + h), com h a altura só da parte reta. A aba dá também o comprimento total, h mais um diâmetro. Com raio de 3 cm e parte reta de 10 cm:

$$\begin{array}{rl}V& =\pi \times 3^2\times (4+10)\approx \text{395,84 cm³}\end{array}$$

O primeiro termo dos parênteses é 4 ÷ 3 × 3 = 4.

Volume do cone, da pirâmide e dos troncos

O cone tem um terço do volume do cilindro de mesma base e mesma altura, pela mesma razão que a pirâmide tem um terço do prisma. A altura é a do vértice até o centro da base, em ângulo reto, e não a geratriz, a linha inclinada da lateral. Um cone de raio 5 cm e altura 12 cm, e uma pirâmide de base quadrada de 10 cm e altura 15 cm:

$$\begin{array}{rl}\text{Cone}& =\frac{\pi \times 5^2\times 12}{3}\approx \text{314,16 cm³}\\ \text{Pirâmide}& =\frac{100\times 15}{3}=\text{500 cm³}\end{array}$$

A pirâmide tem meio litro. O cone tem 314,16 mL, um terço dos 942,48 cm³ do cilindro de mesma base e altura.

O tronco é o que sobra quando se corta a ponta do cone ou da pirâmide com um plano paralelo à base. O volume é a diferença entre o sólido inteiro e a ponta, e a conta sai sem precisar da altura que falta: h ÷ 3 × (B + √(B × b) + b), com B e b as áreas das duas bases. No tronco de cone isso vira π × h × (R² + R × r + r²) ÷ 3. Um balde de 24 cm de diâmetro no fundo, 30 cm na boca e 30 cm de altura tem raios de 12 cm e 15 cm:

$$\begin{array}{rl}V& =\frac{\pi \times 30\times (225+180+144)}{3}\\ & \approx \text{17.247 cm³}\end{array}$$

São 17,25 litros. Com as duas bases iguais o tronco é um cilindro, ou um prisma, e a fórmula devolve área da base vezes altura.

Volume do prisma triangular

Todo prisma tem volume igual à área da base vezes a altura, que no prisma deitado é o comprimento. No prisma triangular, a base é um triângulo, e a aba aceita o triângulo pelos mesmos quatro caminhos da calculadora de área: base e altura, os três lados, dois lados e o ângulo, ou um lado e dois ângulos. Uma calha de base triangular de 6 cm por 4 cm e 20 cm de comprimento:

$$\begin{array}{rl}\text{Base}& =\frac{6\times 4}{2}=\text{12 cm²}\\ V& =12\times 20=\text{240 cm³}\end{array}$$

Volume em litros: 1 m³ são 1.000 litros

Um litro é o volume de um cubo de 10 cm de aresta, 1.000 cm³. Um metro cúbico tem 10 × 10 × 10 desses cubos, 1.000 litros. A conversão de volume é ao cubo: o metro tem 100 cm, mas o metro cúbico tem 1.000.000 cm³, e converter como se fosse comprimento erra por um fator de dez mil.

$$\begin{array}{rl}\text{1 m³}& =100\times 100\times 100\\ & =\text{1.000.000 cm³}\\ & =\text{1.000 litros}\end{array}$$

A página faz a conta na unidade das medidas e muda a unidade do resultado uma vez, no fim. Todo sólido mostra também o volume em litros, que é a pergunta de quem mede uma caixa-d’água, um aquário, um balde ou uma embalagem. Para converter um volume que você já tem, o conversor de volume.

Quantos litros cabem numa caixa-d’água ou numa piscina

É a pergunta mais comum de quem calcula volume, e a resposta é sempre medir por dentro e converter para litros no fim. Uma caixa-d’água redonda e reta, de 1,5 m de diâmetro e 1 m de altura, é um cilindro de raio 0,75 m:

$$\begin{array}{rl}V& =\pi \times {\mathrm{0,75}}^2\times 1\approx \text{1,767 m³}\\ & \approx \text{1.767 litros}\end{array}$$

Uma piscina retangular de 8 m por 4 m com 1,4 m de profundidade média é um paralelepípedo: 8 × 4 × 1,4 = 44,8 m³, ou 44.800 litros. Com o fundo inclinado, a profundidade média é a média entre a parte rasa e a funda, e a conta dá o volume certo porque o fundo é um plano. A capacidade nominal de uma caixa-d’água comprada pronta costuma estar no rótulo; a conta serve para conferir e para os reservatórios feitos na obra.

Para que serve calcular o volume

Saber quantos litros cabem numa caixa-d’água, num aquário, num balde ou numa piscina, quanto concreto uma coluna redonda pede, quanto material vai na parede de um tubo, a capacidade de uma embalagem, e resolver o exercício de geometria espacial com a conta escrita. Para a área de uma face ou de um terreno, e para a superfície do cilindro e da esfera, a calculadora de área; para o raio a partir do comprimento de uma borda redonda, a calculadora de circunferência.

Perguntas frequentes

Como calcular quantos litros cabem numa caixa-d’água?

Meça por dentro. Se for retangular, use o paralelepípedo com comprimento, largura e altura; se for redonda e reta, o cilindro com o diâmetro e a altura; se for mais larga em cima, como muitas caixas de polietileno, o tronco de cone. O resultado sai em litros. Uma caixa de 1 m × 1 m × 1 m tem 1.000 litros.

Qual a diferença entre volume e capacidade?

Volume é o espaço que o sólido ocupa; capacidade é quanto cabe dentro dele, e costuma ser dita em litros. Medindo por dentro, os dois números são o mesmo. No tubo a diferença aparece: o volume da aba é o da parede, e a capacidade é o cilindro do furo.

Por que o volume do cone é um terço do cilindro?

Porque o cone afina até um ponto, e a soma das fatias, cada vez menores, dá exatamente um terço do cilindro de mesma base e altura. É a mesma relação da pirâmide com o prisma.

Como calcular o volume de um balde?

O balde é um tronco de cone. Meça o diâmetro da boca, o do fundo e a altura por dentro, escolha “Tronco de Cone” e “Diâmetros”. O resultado sai em litros.

Como converter cm³ em litros?

Divida por 1.000. Um litro são 1.000 cm³, e 1 cm³ é o mesmo que 1 mL.