Calculadora de Cosseno

O que é o cosseno de um ângulo

O cosseno de um ângulo agudo, num triângulo retângulo, é o cateto adjacente a ele dividido pela hipotenusa. O cateto adjacente é o lado que forma o ângulo junto com a hipotenusa. No triângulo de lados 3, 4 e 5, o ângulo que tem o lado 4 como cateto adjacente tem:

$$\begin{array}{rl}\text{cos}\beta & =\frac{4}{5}=\mathrm{0,8}\end{array}$$

É o mesmo ângulo que tem seno 3/5 = 0,6: seno e cosseno olham para lados diferentes do mesmo triângulo. A razão não depende do tamanho do triângulo, e por isso o cosseno é uma propriedade do ângulo.

Para ângulos maiores que 90° ou negativos, o cosseno é definido no círculo trigonométrico, o círculo de raio 1 com centro na origem. O ângulo é medido a partir do eixo horizontal, no sentido anti-horário, e o cosseno é a posição horizontal do ponto em que o lado do ângulo corta o círculo. Nos ângulos agudos, as duas definições dão o mesmo número. O cosseno de qualquer ângulo fica entre −1 e 1: é 1 em 0°, na ponta direita do círculo, e −1 em 180°, na ponta esquerda.

Como digitar o ângulo em grau, radiano ou grado

Digite o ângulo e escolha a unidade no menu do campo: grau, radiano ou grado. Em grau, só o número: 30, 180 ou 22,5. Em radiano, escreva com π, como π/6 ou 5π/6, que o teclado abaixo do campo tem. Em grado, a volta tem 400, e 100 gon são 90°. O visor mostra o cosseno pela forma exata, quando ela existe, e o decimal logo abaixo.

O menu de unidade fica dentro do campo do ângulo, à vista, e não volta sozinho para grau. O cosseno de 60 em grau é 0,5; o cosseno de 60 em radiano é −0,952. Para converter um ângulo entre as unidades, use o conversor de ângulo.

Cosseno de 30 é √3/2

É a pergunta mais feita sobre cosseno, e a resposta que vai para a prova é √3/2. A calculadora do Google responde 0,8660254038, que é o mesmo número escrito em decimal, e o exercício quase nunca aceita o decimal no lugar da forma exata.

A forma exata existe nos múltiplos de 15°: 0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75° e 90°, e em todos os ângulos que caem neles depois da redução. Fora deles, como em 20°, o cosseno não tem forma com raiz quadrada simples, e a página diz isso em vez de inventar uma. As formas de 15° e 75° são as menos conhecidas:

$$\begin{array}{rl}\text{cos}15°& =\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\approx \mathrm{0,9659258263}\\ \text{cos}75°& =\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\approx \mathrm{0,2588190451}\end{array}$$

Tabela de cosseno dos ângulos notáveis

No primeiro quadrante o cosseno faz o caminho contrário do seno: começa em 1, em 0°, e desce até 0, em 90°. As formas exatas são as da tabela do NIST:

A coluna é a do seno de cabeça para baixo, porque o cosseno de um ângulo é o seno do complementar: cos 60° = sen 30° = 1/2. Nos outros quadrantes, os mesmos valores voltam com o sinal do quadrante:

Cosseno de 180 é −1

O cosseno de um ângulo é a posição horizontal do ponto dele no círculo de raio 1. Em 180° o ponto está em (−1, 0), na ponta esquerda do círculo, e o cosseno é −1. É a segunda pergunta mais feita sobre cosseno, e é um ângulo sobre o eixo: não há redução a fazer, o valor sai direto da coordenada. O mesmo vale para 0°, 90° e 270°, que dão 1, 0 e 0.

Como calcular o cosseno de qualquer ângulo: a redução ao primeiro quadrante

Para os ângulos que não estão sobre um eixo, a página faz a redução em quatro passos e mostra cada um:

1. As voltas. 390° é 30° mais uma volta inteira, e o cosseno não muda com a volta. Ângulo negativo ganha voltas: −60° vira 300°.
2. O quadrante. Entre 0° e 90° é o 1º, entre 90° e 180° o 2º, e assim por diante.
3. O ângulo de referência. No 2º quadrante é 180° menos o ângulo; no 3º, o ângulo menos 180°; no 4º, 360° menos o ângulo.
4. O sinal. O cosseno é positivo no 1º e no 4º quadrantes, onde o ponto fica à direita do eixo vertical, e negativo no 2º e no 3º.

cos 150°: o ângulo está no 2º quadrante, a referência é 180° − 150° = 30°, e ali o cosseno é negativo.

$$\begin{array}{rl}\text{cos}150°& =-\text{cos}30°\\ & =-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$$

cos(−60°): somando uma volta, −60° vira 300°, no 4º quadrante. A referência é 360° − 300° = 60°, o cosseno é positivo, e cos(−60°) = 1/2. O ângulo negativo tem o mesmo cosseno do positivo, porque os dois pontos ficam na mesma posição horizontal, um acima e outro abaixo do eixo.

Cosseno em radiano: por que π/3 é 60°

Meia volta são 180° ou π radianos. Para passar de grau para radiano, multiplique por π e divida por 180:

$$\begin{array}{rl}60°& =\frac{60\times \pi }{180}=\frac{\pi }{3}\end{array}$$

Por isso cos(π/3) = cos 60° = 1/2, e a página aceita as duas escritas. O radiano digitado com π é convertido em fração de grau antes da conta, e o resultado sai exato. Digitado como número solto, como 1,0472, o radiano segue em decimal, sem forma exata, porque 1,0472 não é exatamente π/3.

Como usar o cosseno para calcular um lado do triângulo

Quando se conhece um ângulo e a hipotenusa, o cosseno dá o cateto adjacente. Uma rampa de 10 m de comprimento com 30° de inclinação ocupa no chão:

$$\begin{array}{rl}\text{no chão}& 10\times \text{cos}30°=10\times \frac{\sqrt{3}}{2}\\ & \approx \text{8,66 m}\end{array}$$

Em triângulos que não são retângulos, o cosseno aparece na lei dos cossenos: c² = a² + b² − 2ab cos γ, em que γ é o ângulo entre os lados a e b. Com lados de 5 e 8 e ângulo de 60° entre eles:

$$\begin{array}{rl}{c}^2& =25+64-2\times 5\times 8\times \frac{1}{2}\\ & =49\\ c& =7\end{array}$$

A página calcula o cosseno do ângulo; a lei dos cossenos é a conta que vem depois, com ele.

Secante: o inverso do cosseno

A secante é 1 dividido pelo cosseno, e a página mostra as duas juntas. Onde o cosseno é zero, em 90° e 270°, a divisão é por zero e a secante não existe:

A página diz “não existe”, e não devolve 1,6 × 10¹⁶, que é o que muita calculadora faz: ela converte 90° para radiano com um erro minúsculo, o cosseno sai 6 × 10⁻¹⁷ em vez de zero, e a divisão vira um número gigante com cara de resposta.

Arco cosseno: o ângulo pelo valor do cosseno

O segundo bloco faz o caminho de volta: você dá o valor do cosseno, como 1/2 ou √2/2, e ele devolve o ângulo, que é o arco cosseno, escrito arccos, acos ou cos⁻¹. Muitos ângulos têm cosseno 1/2: 60°, 300°, −60°, e todos os que diferem deles por voltas inteiras. O arco cosseno escolhe um só, sempre de 0° a 180°, que é o intervalo principal. É um intervalo diferente do arco seno, que vai de −90° a 90°:

Por isso arccos(−1/2) é 120°, e não 240°: os dois têm o mesmo cosseno, mas só 120° está no intervalo. O círculo do segundo bloco pinta esse intervalo, e o resultado sempre cai dentro dele. A página escreve também todos os ângulos com aquele cosseno: para −1/2, 120° + 360°k e −120° + 360°k, com k inteiro.

Fora dos valores notáveis, o arco sai em decimal. No triângulo 3, 4 e 5, o ângulo de cosseno 0,8 é arccos(0,8) ≈ 36,8698976458°, o mesmo que arcsen(0,6). O cosseno de qualquer ângulo fica entre −1 e 1, e pedir o arco cosseno de 2 é pedir um ângulo que não existe: a página recusa e diz por quê.

Propriedades do cosseno

• Período de 360°. O cosseno se repete a cada volta: cos(β + 360°) = cos β.
• Máximo e mínimo. O maior valor é 1, em 0°, e o menor é −1, em 180°.
• Ângulo negativo. cos(−β) = cos β. O cosseno de −60° é o mesmo de 60°, 1/2.
• Complementar. cos β = sen(90° − β).
• Com o seno. sen² β + cos² β = 1. Com cos β = 0,8, o seno é 0,6 ou −0,6.

Perguntas frequentes

Quanto é cosseno 60?

Em grau, cos 60° = 1/2, ou 0,5. Repare que é o mesmo valor do seno de 30°: cosseno de um ângulo é o seno do complementar.

Quanto é cosseno 45?

cos 45° = √2/2 ≈ 0,7071, o mesmo valor do seno de 45°. É o único ângulo agudo em que seno e cosseno são iguais.

Quanto é cosseno 90?

cos 90° = 0. O ponto de 90° é (0, 1), no topo do círculo, e a posição horizontal dele é zero.

Quanto é cosseno 0?

cos 0° = 1. O ponto de 0° é (1, 0), na ponta direita do círculo.

Quanto é cosseno 120 e cosseno 150?

cos 120° = −1/2 e cos 150° = −√3/2. Os dois estão no 2º quadrante, onde o cosseno é negativo, e reduzem a 60° e a 30°.

Por que a calculadora do celular dá outro valor para o cosseno?

Quase sempre porque está em radiano. No modo RAD, cos 60 dá −0,952; no modo DEG, dá 0,5, que é o cosseno de 60°.

Qual a diferença entre cosseno e arco cosseno?

O cosseno recebe um ângulo e devolve um número entre −1 e 1. O arco cosseno faz o contrário: recebe o número e devolve o ângulo, de 0° a 180°.

Onde estão o seno e a tangente?

Nas páginas deles, com a mesma redução e a mesma tabela: a calculadora de seno e a calculadora de tangente. Para uma conta com várias funções juntas, a calculadora científica.