Calculadora de Tangente

O que é a tangente de um ângulo

A tangente de um ângulo agudo, num triângulo retângulo, é o cateto oposto dividido pelo cateto adjacente. Ao contrário do seno e do cosseno, ela não usa a hipotenusa. No triângulo de lados 3, 4 e 5, o ângulo oposto ao lado 3 tem:

$$\begin{array}{rl}\text{tg}\beta & =\frac{3}{4}=\mathrm{0,75}\end{array}$$

Dividindo os dois catetos pela hipotenusa, a conta vira seno sobre cosseno, 0,6 ÷ 0,8 = 0,75. É por isso que a tangente de qualquer ângulo é definida como tg β = sen β ÷ cos β: no círculo trigonométrico, é a altura do ponto dividida pela posição horizontal dele. No desenho, ela aparece como a altura em que a reta do ângulo corta a reta vertical que toca o círculo em (1, 0), o eixo das tangentes.

Como o cateto oposto pode ser muito maior que o adjacente, a tangente não fica presa entre −1 e 1: ela vai de zero, em 0°, a valores tão grandes quanto se queira perto de 90°.

Como digitar o ângulo em grau, radiano ou grado

Digite o ângulo e escolha a unidade no menu do campo: grau, radiano ou grado. Em grau, só o número: 45, 135 ou 22,5. Em radiano, escreva com π, como π/4 ou 3π/4, que o teclado abaixo do campo tem. Em grado, a volta tem 400, e 50 gon são 45°. O visor mostra a tangente pela forma exata, quando ela existe, e o decimal logo abaixo.

O menu de unidade fica dentro do campo do ângulo, à vista, e não volta sozinho para grau. A tangente de 45 em grau é 1; a de 45 em radiano é cerca de 1,6198. Para converter um ângulo entre as unidades, use o conversor de ângulo.

Quanto é tangente 1?

A pergunta tem três leituras, e a página responde as três:

• O ângulo cuja tangente é 1 é 45°, ou π/4. É o arco tangente de 1, e é o que o segundo bloco devolve com o exemplo que já vem nele.
• A tangente de 1 grau é cerca de 0,0175. Digite 1 no primeiro bloco, em grau.
• A tangente de 1 radiano é cerca de 1,5574. Digite 1 no primeiro bloco, em radiano.

A forma exata da tangente

A tangente de 30° é √3/3. A calculadora do celular diz 0,5773502692, e o exercício quase sempre pede a forma exata. Ela sai do seno sobre o cosseno, com a fração racionalizada:

$$\begin{array}{rl}\text{tg}30°& =\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}$$

A forma exata existe nos múltiplos de 15°: a tangente de 15° é 2 − √3, a de 30° é √3/3, a de 45° é 1, a de 60° é √3 e a de 75° é 2 + √3. Fora deles, como em 20°, a página dá o decimal e diz que não há forma com raiz quadrada simples.

Tabela de tangente dos ângulos notáveis

No primeiro quadrante a tangente cresce de 0 até não existir, em 90°:

Repare que tg 30° e tg 60° são inversas uma da outra, √3/3 e √3, e tg 15° e tg 75° também, 2 − √3 e 2 + √3: a tangente de um ângulo é a cotangente do complementar. Nos outros quadrantes, os valores se repetem a cada 180°:

Tangente de 90 não existe

A tangente é o seno dividido pelo cosseno. Em 90° e em 270° o cosseno é zero, e a divisão é por zero: a tangente não existe. No desenho, a reta do ângulo fica paralela ao eixo das tangentes e nunca o encontra. Perto de 90° ela cresce sem limite: tg 89° ≈ 57,29 e tg 89,9° ≈ 573.

É onde quase toda calculadora da web falha. Ela converte 90° para radiano com um erro minúsculo, o cosseno sai 6 × 10⁻¹⁷ em vez de zero, e a tangente vira 1,6 × 10¹⁶, um número gigante com cara de resposta. Aqui o ângulo em grau é reduzido em números inteiros antes de qualquer conta, e a página diz “indefinida”.

Como calcular a tangente de qualquer ângulo: a redução ao primeiro quadrante

A tangente se repete a cada 180°, e a página faz a redução em quatro passos e mostra cada um:

1. As voltas. 405° é 45° mais uma volta inteira. Ângulo negativo ganha voltas: −45° vira 315°.
2. O quadrante. Entre 0° e 90° é o 1º, entre 90° e 180° o 2º, e assim por diante.
3. O ângulo de referência. No 2º quadrante é 180° menos o ângulo; no 3º, o ângulo menos 180°; no 4º, 360° menos o ângulo.
4. O sinal. A tangente é positiva no 1º e no 3º quadrantes, onde seno e cosseno têm o mesmo sinal, e negativa no 2º e no 4º.

tg 135°: o ângulo está no 2º quadrante, a referência é 180° − 135° = 45°, e ali a tangente é negativa.

$$\begin{array}{rl}\text{tg}135°& =-\text{tg}45°=-1\end{array}$$

tg 120°: referência de 180° − 120° = 60°, no 2º quadrante, e tg 120° = −√3.

Como usar a tangente para calcular uma altura

A tangente liga os dois catetos, e por isso é a função de quem mede uma altura sem subir nela. De pé a 20 m de um prédio, olhando o topo com um ângulo de 30° acima da horizontal:

$$\begin{array}{rl}\text{altura}& 20\times \text{tg}30°=20\times \frac{\sqrt{3}}{3}\\ & \approx \text{11,55 m}\end{array}$$

A conta dá a altura acima dos olhos de quem mede; somando a altura dos olhos, sai a do prédio. O caminho contrário também serve: conhecendo a altura e a distância, o arco tangente dá o ângulo.

Tangente em radiano: por que π/4 é 45°

Meia volta são 180° ou π radianos. Para passar de grau para radiano, multiplique por π e divida por 180:

$$\begin{array}{rl}45°& =\frac{45\times \pi }{180}=\frac{\pi }{4}\end{array}$$

Por isso tg(π/4) = tg 45° = 1, e a página aceita as duas escritas. Digitado como número solto, como 0,7854, o radiano segue em decimal, sem forma exata.

Propriedades da tangente

• Período de 180°. A tangente se repete a cada meia volta: tg(β + 180°) = tg β. O seno e o cosseno trocam de sinal juntos, e a divisão não muda.
• Sem máximo nem mínimo. Ela assume qualquer valor real, e não existe em 90° + 180°k.
• Ângulo negativo. tg(−β) = −tg β. A tangente de −45° é −1.
• Complementar. tg(90° − β) = cotg β. É por isso que tg 60° é o inverso de tg 30°.

Tangente e inclinação em porcentagem

A inclinação de uma rampa, de um telhado ou de uma estrada em porcentagem é a tangente do ângulo vezes 100: quanto se sobe para cada 100 de distância na horizontal. Uma inclinação de 100% é de 45°, porque ali a subida é igual ao avanço, e não de 90°. Para voltar da porcentagem ao ângulo, usa-se o arco tangente:

$$\begin{array}{rl}\text{ângulo}& \text{arctg}\left(\mathrm{0,0833}\right)\approx \mathrm{4,76}°\end{array}$$

No sentido contrário, 30° de inclinação são tg 30° × 100 ≈ 57,74%, e 10° são cerca de 17,63%.

Cotangente: cosseno dividido pelo seno

A cotangente é o cosseno dividido pelo seno. Ela não é “1 dividido pela tangente” em todo lugar: em 90° a tangente não existe, mas a cotangente existe e vale zero, porque ali o cosseno é zero e o seno é 1. Quem calcula a cotangente como 1 ÷ tg transforma um zero exato em erro. Onde o seno é zero, em 0° e 180°, é a cotangente que não existe:

Arco tangente: o ângulo pelo valor da tangente

O segundo bloco faz o caminho de volta: você dá o valor da tangente, como 1 ou √3, e ele devolve o ângulo, que é o arco tangente, escrito arctg, arctan ou tg⁻¹. Muitos ângulos têm tangente 1: 45°, 225°, −135°, e todos os que diferem deles por meia volta. O arco tangente escolhe um só, sempre entre −90° e 90°, sem as pontas, porque em ±90° a tangente não existe. Ao contrário do arco seno e do arco cosseno, ele aceita qualquer número, de muito negativo a muito positivo:

A página escreve também todos os ângulos com aquela tangente, que se repetem a cada 180°: para 1, 45° + 180°k, com k inteiro. Fora dos valores notáveis, o arco sai em decimal: no triângulo 3, 4 e 5, arctg(0,75) ≈ 36,8698976458°, o mesmo ângulo de seno 0,6 e cosseno 0,8.

Perguntas frequentes

Quanto é tangente de 45?

Em grau, tg 45° = 1. No triângulo retângulo de 45°, os dois catetos são iguais, e a tangente é um cateto dividido pelo outro.

Quanto é tangente de 30 e de 60?

tg 30° = √3/3 ≈ 0,5774 e tg 60° = √3 ≈ 1,7321.

Quanto é tangente de 90?

Não existe. Em 90° o cosseno é zero, e a tangente é o seno dividido por ele.

Qual a diferença entre tangente e arco tangente?

A tangente recebe um ângulo e devolve um número, que pode ser qualquer um. O arco tangente faz o contrário: recebe o número e devolve o ângulo, entre −90° e 90°.

Por que a calculadora do celular dá outro valor para a tangente?

Quase sempre porque está em radiano. No modo RAD, tg 45 dá cerca de 1,6198; no modo DEG, dá 1, que é a tangente de 45°.

Onde estão o seno e o cosseno?

Nas páginas deles, com a mesma redução e a mesma tabela: a calculadora de seno e a calculadora de cosseno. Para a tangente no triângulo retângulo com os lados, a calculadora de hipotenusa.