Conversor de Graus para Radianos

Como converter graus para radianos

Multiplique o ângulo em graus por π e divida por 180. Em exercício de trigonometria, a resposta costuma ficar como fração de π: simplifique a fração do ângulo por 180 e ponha o π no numerador.

$$\mathrm{rad}=\mathrm{graus}\times \frac{\pi }{180}$$

Um ângulo de 150°:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{rad}& =150\times \frac{\pi }{180}\\ & =\frac{150}{180}\pi =\frac{5\pi }{6}\\ & \approx \mathrm{2,618}\end{array}$$

A fração 150/180 simplifica para 5/6, e o ângulo fica 5π/6 rad. O decimal, 2,618, só é preciso quando a conta segue numa calculadora ou num programa.

Um grau tem 0,0174533 radiano, que é π/180. Multiplicar por esse número dá o mesmo resultado, com a precisão das casas que se usar.

Por que 180 graus são π radianos

O radiano não é uma divisão arbitrária da volta, como o grau. Um radiano é o ângulo cujo arco tem o mesmo comprimento do raio. A circunferência inteira mede 2π raios, e por isso a volta completa tem 2π radianos:

$$\begin{array}{rl}360°& =2\pi \text{rad}\\ 180°& =\pi \text{rad}\end{array}$$

Meia volta são π radianos, e é daí que sai a razão π/180 da conversão. É também por isso que π aparece em toda fórmula de circunferência: ele é meia volta, medida em radianos. O grau, ao contrário, divide a volta em 360 partes por herança babilônica, e 360 foi escolhido por ter muitos divisores.

A definição pelo raio dá uma conta simples para o comprimento de arco. Com o ângulo em radianos, o arco é o raio vezes o ângulo, sem fator nenhum. Uma roda de 30 cm de raio que gira 2 radianos avança:

$$s=r\times \theta =30\times 2=60\text{cm}$$

Tabela dos ângulos notáveis em radianos

São os ângulos que aparecem em prova, em exercício e no círculo trigonométrico. Em radianos, eles quase sempre se escrevem como fração de π, e é assim que devem ser memorizados:

Um jeito de memorizar: 30°, 45° e 60° são π/6, π/4 e π/3, e os outros ângulos do círculo são múltiplos deles. 150° são cinco vezes 30°, então 5π/6; 225° são cinco vezes 45°, então 5π/4.

Como converter radianos para graus

No sentido contrário, multiplique os radianos por 180 e divida por π. Se o ângulo vier como fração de π, basta trocar o π por 180°:

$$\begin{array}{rl}\frac{3\pi }{4}& =\frac{3\times 180}{4}=135°\end{array}$$

Se vier em decimal, a divisão por π é inevitável. Um ângulo de 2,5 rad:

$$\mathrm{2,5}\times \frac{180}{\pi }\approx \mathrm{143,24}°$$

Um radiano tem 57,2958°, pouco menos de 60 graus.

O modo DEG e o modo RAD da calculadora

Toda calculadora científica tem esse par de modos, e ele é a origem do erro mais comum em trigonometria escolar. No modo errado, a conta devolve um número errado sem avisar: o seno de 1 vale 0,8415 com o ângulo em radianos e 0,01745 com o ângulo em graus.

Antes de qualquer conta, confira o modo com um teste rápido: o seno de 30 deve dar 0,5. Se der −0,988, a calculadora está em radianos e entendeu 30 radianos, que são quase cinco voltas.

A regra prática: geometria, desenho e navegação falam em graus; cálculo, física e programação falam em radianos. As funções trigonométricas das linguagens de programação e das planilhas esperam radianos. E a derivada do seno só é o cosseno se o ângulo estiver em radianos; em graus, aparece um fator π/180 em toda conta.

Graus, radianos e grados

A conversão entre graus e radianos é a única deste conversor de ângulo que não pode ser exata. π é irracional: não existe fração de inteiros que o represente, e todo resultado em radianos é uma aproximação decimal, a melhor que o cálculo permite.

Grau, grado, minuto e segundo de arco convertem exatamente entre si, porque são frações da volta que não passam pelo π. O grado divide a volta em 400 partes, o que faz o ângulo reto valer 100, e ainda aparece em topografia, principalmente na Europa.

Perguntas frequentes

Quanto é 180 graus em radianos?

180 graus são π radianos, ou 3,1416 rad. É meia volta, e é dessa igualdade que sai a fórmula de conversão.

Quantos radianos tem 1 grau?

1 grau tem 0,0174533 radiano, que é π dividido por 180.

Quanto é 1 radiano em graus?

1 radiano são 57,2958°, que é 180 dividido por π. É o ângulo em que o arco tem o mesmo comprimento do raio.

Quanto é 90 graus em radianos?

90 graus são π/2 radianos, ou 1,5708 rad. É o ângulo reto, um quarto de volta.

Por que existe o radiano se o grau já funciona?

Porque o radiano deixa as fórmulas sem fator de conversão. O comprimento do arco é o raio vezes o ângulo, e a derivada do seno é o cosseno, só com o ângulo em radianos.