Atualizado em 21 de setembro de 2026

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Calculadora de Logaritmo

Na calculadora de logaritmo, digite o logaritmando e a base e veja o resultado, a potência de volta que confere o resultado, a mudança de base escrita com os valores e os logaritmos natural, decimal e binário do mesmo número. A potência de volta é o que faz a definição virar evidente.

3,00 Logaritmo

log₂ 8 = 3

Conferência: Conferindo pela potência de volta: 2³ = 8.
É Exato?: 8 é uma potência exata de 2, então o logaritmo é o inteiro 3.
Mudança de Base: Mudança de base: log₂ 8 = ln 8 ÷ ln 2 = 2,07944154168 ÷ 0,69314718056.
Logaritmo Natural (ln): 2,08
Logaritmo Decimal (log₁₀): 0,90
Logaritmo Binário (log₂): 3,00

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O que é logaritmo

O logaritmo é a pergunta invertida da potência. A potência pergunta: 2 elevado a 3 dá quanto? Resposta, 8. O logaritmo pergunta o contrário: 2 elevado a quanto dá 8? Resposta, 3.

$\begin{aligned} \log_{2} 8 & = 3 porque 2^{3} = 8 \end{aligned}$

É só isso. A definição inteira cabe nessa frase, e é por isso que esta página escreve a potência de volta embaixo de todo resultado: quem não entendeu a definição entende vendo as duas linhas juntas.

Os três têm nome, e o do meio é o que quase ninguém lembra. Em log₂ 8 = 3, o 2 é a base, o 8 é o logaritmando e o 3 é o logaritmo. Alguns livros chamam o logaritmando de antilogaritmo.

É ele que a calculadora pede primeiro, no campo que vem depois de “logaritmo de”, e a base vem em seguida. A notação escreve a base antes, colada embaixo do log, mas ninguém lê assim: lê-se “logaritmo de 8 na base 2”, e é nessa ordem que o enunciado chega.

As três bases que têm nome

Como cada uma se escreve e onde aparece
Base	Escrita	Onde aparece
10	log x	pH, decibel, escala Richter
e ≈ 2,71828	ln x	Cálculo, juros contínuos, decaimento
2	log₂ x	Computação, complexidade de algoritmo

Quando a base não aparece escrita, a convenção depende da área: em matemática de escola e em engenharia, log sem índice costuma ser base 10; em muitos textos de matemática superior e na maioria das linguagens de programação, é base e. A página sempre escreve qual usou.

Os três saem juntos em toda conta, porque quem precisa de um costuma precisar de conferir contra outro. Os valores que a prova mais dá como dados:

Logaritmo decimal e natural de 2 a 10
x	log x	ln x
2	0,3010	0,6931
3	0,4771	1,0986
4	0,6021	1,3863
5	0,6990	1,6094
6	0,7782	1,7918
7	0,8451	1,9459
8	0,9031	2,0794
9	0,9542	2,1972
10	1	2,3026

Com log 2 e log 3 dá para montar quase todos os outros pelas propriedades: log 6 = log 2 + log 3 = 0,7782, e log 5 = log 10 − log 2 = 0,6990.

Mudança de base do logaritmo

Calculadora nenhuma implementa todas as bases. Ela implementa uma e converte:

$\begin{aligned} \log_{2} 8 & = \frac{ln 8}{ln 2} = \frac{2,0794}{0,6931} = 3 \end{aligned}$

A identidade vale para qualquer base no numerador e no denominador, desde que seja a mesma nos dois. É essa conta que a página faz por dentro, e ela sai escrita com os valores substituídos porque é exatamente o que a prova cobra quando pede “calcule log₂ 10 usando log 2 = 0,301”:

$\begin{aligned} \log_{2} 10 & = \frac{log 10}{log 2} = \frac{1}{0,301} \approx 3,32 \end{aligned}$

Propriedades do logaritmo

São as propriedades que transformam multiplicação em soma:

As quatro propriedades
Propriedade	Regra	Exemplo em base 2
Do produto	log(a × b) = log a + log b	log₂ 8 = log₂ 2 + log₂ 4 = 1 + 2
Do quociente	log(a ÷ b) = log a − log b	log₂ 4 = log₂ 8 − log₂ 2 = 3 − 1
Da potência	log(aⁿ) = n × log a	log₂ 8 = log₂ 2³ = 3 × 1
Da raiz	log(ⁿ√a) = log a ÷ n	log₂ √4 = 2 ÷ 2 = 1

A primeira é a razão histórica de o logaritmo existir. Antes da calculadora, multiplicar números grandes era trabalhoso e somar era fácil; a tábua de logaritmos transformava um no outro. É a mesma ideia que está por trás da régua de cálculo.

O erro comum é o inverso: log(a + b) não é log a + log b. Não existe propriedade para o logaritmo de uma soma.

O que fica de fora da definição, e por quê

Logaritmando zero ou negativo. Uma base positiva elevada a qualquer expoente real dá sempre um número positivo. Não existe expoente que faça 2 dar zero, nem que faça 2 dar −5. Quanto menor o número, mais o logaritmo desce, e ele nunca chega ao zero.
Base 1. log₁ 8 pergunta “1 elevado a quanto dá 8”, e 1 elevado a qualquer coisa dá 1. Não há resposta. E log₁ 1 teria infinitas.
Base negativa. A potência de base negativa só está definida em expoente inteiro, então o logaritmo deixaria de ter resposta para quase todo número.

Onde o logaritmo aparece fora da prova

Nas escalas que comprimem números muito diferentes num intervalo legível. Um terremoto de magnitude 7 libera cerca de trinta vezes mais energia que um de magnitude 6, e não sete sextos a mais: a escala Richter é logarítmica. O mesmo vale para o decibel, para o pH e para a escala de brilho das estrelas.

Em finanças, é ele que diz em quanto tempo um capital dobra: a 10% ao ano, log 2 ÷ log 1,1 ≈ 7,27 anos.

E em computação, log₂ n responde “quantas vezes dá para dividir n pela metade”, que é a conta por trás da busca binária e de quase toda estrutura de dados eficiente.

Fórmula usada

\log_{b} x = y significa b^{y} = x

\log_{b} x = \frac{ln x}{ln b}

b é a base, maior que zero e diferente de 1, e x é o logaritmando, maior que zero. A segunda linha é a mudança de base, que leva qualquer base ao logaritmo natural.

Definição: log_b(x) é o expoente y tal que bʸ = x, definido para b maior que zero e diferente de 1, e x maior que zero. O cálculo usa a mudança de base log_b(x) = ln x ÷ ln b, que é a identidade que permite obter qualquer base a partir do logaritmo natural. A conferência exibida eleva a base ao expoente obtido, usando o valor antes do arredondamento de exibição para que a igualdade feche. A base 1 é excluída porque 1 elevado a qualquer expoente é 1, o que deixa a equação sem solução quando x é diferente de 1 e com infinitas soluções quando x é 1. Logaritmando zero ou negativo é excluído porque uma base positiva elevada a qualquer expoente real é sempre positiva.

Como conferimos este cálculo

Perguntas frequentes

Quanto é log de 1?

Zero, em qualquer base, porque qualquer base elevada a zero dá 1.

Quanto é log 100?

2, na base 10, porque 10² = 100. log 1000 é 3, e log 0,01 é −2.

Qual a diferença entre log e ln?

A base. log, sem índice, é o logaritmo decimal, de base 10; ln é o logaritmo natural, de base e ≈ 2,71828. ln x é cerca de 2,3026 vezes log x.

Logaritmo pode dar negativo?

Pode, quando o logaritmando fica entre 0 e 1 e a base é maior que 1: log 0,1 = −1. O que não pode é o logaritmando ser negativo.