Calculadora de PG (Progressão Geométrica)

O que é uma progressão geométrica

Progressão geométrica, ou PG, é uma sequência em que cada termo é o anterior multiplicado por uma constante, a razão. Em 2, 6, 18, 54… a razão é 3.

Para achar a razão de uma sequência que você já tem, divida um termo pelo anterior: q = a₂ ÷ a₁. Uma PG multiplica sempre pela mesma coisa, e por isso cresce ou encolhe em proporção, e não em passos iguais como a PA.

Termo geral da PG

$$a_n=a_1\times q^n$$

O expoente é n − 1 pelo mesmo motivo da PA: o primeiro termo já existe antes de multiplicar por razão nenhuma.

A PG que começa em 2 com razão 3, no sexto termo:

$$\begin{array}{rl}{a}_6& =2\times 3^5=2\times 243=486\end{array}$$

Soma da PG e o buraco da razão 1

A soma dos seis primeiros termos da mesma PG, 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486:

$$\begin{array}{rl}{S}_6& =\frac{2\times (3^6-1)}{3-1}=\frac{2\times 728}{2}=728\end{array}$$

Essa fórmula tem um ponto cego: com q = 1 ela vira 0/0, porque o denominador q − 1 é zero.

Não é que a soma não exista. Com razão 1 todos os termos são iguais a a₁, e a soma é simplesmente n × a₁, que se faz de cabeça. A calculadora troca de fórmula nesse caso e diz que trocou.

Soma infinita da PG, e quando ela não existe

A fórmula só vale com a razão entre −1 e 1:

$$S_{\infty }=\frac{a_1}{1-q}$$

Somar infinitos números e chegar a um total finito parece contradição, e não é: com razão entre −1 e 1 os termos encolhem tão depressa que a soma para. Em 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … o total é 2, e nunca passa disso:

$$\begin{array}{rl}{S}_{\infty }& =\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2\end{array}$$

Fora desse intervalo a série diverge: a soma cresce sem limite e não existe total. Aplicar a fórmula mesmo assim é o erro mais copiado da matéria: com a₁ = 1 e q = 2 ela devolve −1, um número negativo para uma soma de termos que só crescem.

Por isso esta página não mostra soma infinita quando ela não existe. Mostra a frase que explica por quê.

Produto dos termos da PG

A PG tem uma conta que a PA não tem: o produto dos n termos. Ela sai do mesmo truque de Gauss, trocando soma por multiplicação. Emparelhando o primeiro com o último, o segundo com o penúltimo e assim por diante, todo par dá o mesmo produto a₁ × aₙ, e são n ÷ 2 pares:

$$P_n={(}^{a_1}$$

Na PG 2, 6, 18, 54, 162, 486:

$$\begin{array}{rl}{P}_6& ={(}^2={972}^3\\ & =\mathrm{918.330.048}\end{array}$$

O número cresce depressa: numa PG de razão 3 com vinte termos o produto já passa de 10⁵⁰, e a página o escreve em notação científica em vez de cortar dígitos.

Como achar a razão, a quantidade de termos e o primeiro termo

A fórmula do termo geral tem quatro letras: a₁, q, n e aₙ. Sabendo três, a quarta sai:

• Falta o termo: aₙ = a₁ × q^(n − 1).
• Falta a razão: q = (aₙ ÷ a₁) elevado a 1 ÷ (n − 1). Repare no menos um: entre o primeiro e o sexto termo há cinco multiplicações, e não seis.
• Falta a quantidade: n = log(aₙ ÷ a₁) ÷ log(q) + 1. Se não der inteiro, o valor procurado não é termo daquela PG.
• Falta o primeiro: a₁ = aₙ ÷ q^(n − 1).

A raiz que tem dois sinais

Achar a razão é tirar uma raiz de índice n − 1, e aí aparece uma coisa que não existe na PA: quando o índice é par, a raiz real tem dois valores. De 1 até 4 em três termos há dois saltos, e a raiz quadrada de 4 é 2 e −2: as progressões 1, 2, 4 e 1, −2, 4 satisfazem as duas o enunciado. A página devolve as duas, porque as duas são resposta.

E há o caso em que ela não existe: com índice par e quociente negativo, nenhum número real elevado a expoente par dá negativo. De 1 até −4 em três termos não há PG real nenhuma, e é isso que a página responde.

A PG a partir de dois termos quaisquer

“O segundo termo é 6 e o quinto é 162” não dá nem o primeiro termo nem a razão. O caminho é o mesmo da PA com a operação trocada: o quociente entre dois termos é a razão elevada à distância entre as posições deles.

Entre a₂ e a₅ há 3 saltos:

$$\begin{array}{rl}q& =\sqrt[3]{\frac{162}{6}}=\sqrt[3]{27}=3\\ a_1& =\frac{6}{3}=2\end{array}$$

Com a razão, volta-se do segundo até o primeiro dividindo uma vez. A PG é 2, 6, 18, 54, 162.

Interpolação geométrica: inserir meios

Inserir meios geométricos entre dois números é completar o caminho de um até o outro multiplicando sempre pelo mesmo fator. Inserir 3 meios entre 2 e 162 faz uma PG de 5 termos, e o número de saltos é 4.

Daí a razão é a raiz de índice k + 1 do quociente, com k meios:

$$\begin{array}{rl}q& =\sqrt[4]{\frac{162}{2}}=\sqrt[4]{81}=3\end{array}$$

A progressão fica 2, 6, 18, 54, 162. O erro clássico é dividir o expoente por k em vez de k + 1.

Como saber se três números estão em PG

Numa PG, cada termo é a média geométrica do anterior com o seguinte: a, b e c estão em PG quando b² = a × c. É a propriedade que resolve o exercício de encontrar x. x, x + 3 e x + 9 estão em PG:

$$\begin{array}{rl}{(}^x& =x(x+9)\\ x^2+6x+9& =x^2+9x\\ x& =3\end{array}$$

Os termos ficam 3, 6 e 12, com razão 2. É a versão multiplicativa da propriedade da PA, em que o termo do meio é a média aritmética dos vizinhos.

Três termos em PG: x/q, x, xq

Com a soma e o produto de três termos em PG, chame o do meio de x e os outros de x/q e xq. O produto vira x³, e a razão some dele. Três números em PG têm produto 216 e soma 26:

$$\begin{array}{rl}{x}^3& =216⟹x=6\\ \frac{6}{q}+6+6q& =26\\ 3q^2-10q+3& =0\end{array}$$

A equação do segundo grau dá q = 3 ou q = 1/3, e as duas levam aos mesmos números, 2, 6 e 18, em ordem crescente ou decrescente.

Dízima periódica como soma de uma PG

A dízima 0,333… é a soma infinita 3/10 + 3/100 + 3/1000 + …, uma PG de primeiro termo 3/10 e razão 1/10. Como a razão está entre −1 e 1, a soma infinita existe:

$$\begin{array}{rl}\text{0,333…}& =\frac{\frac{3}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{1}{3}\end{array}$$

É a demonstração de que a dízima é exatamente 1/3, e não uma aproximação. Com período de dois algarismos, a razão é 1/100: 0,2727… = (27/100) ÷ (99/100) = 27/99 = 3/11.

PG crescente, decrescente, alternante e constante

A classificação vem da razão e do sinal do primeiro termo. Com a₁ positivo: q maior que 1, a PG cresce (2, 6, 18…); q entre 0 e 1, decresce na direção de zero (64, 32, 16…); q igual a 1, é constante; q negativo, alterna o sinal a cada termo. Com a₁ negativo, crescente e decrescente trocam de lugar: −2, −6, −18… tem razão 3 e decresce.

Juros compostos formam uma PG

No regime de juros compostos, o saldo é multiplicado todo mês pelo mesmo fator, e a sequência de saldos é uma PG. R$ 1.000 a 1% ao mês: 1.010, 1.020,10, 1.030,30…, uma PG de razão 1,01. O décimo segundo mês é o termo geral aplicado ao dinheiro:

$$\begin{array}{rl}\text{mês 12}& =1.000\times {\mathrm{1,01}}^{12}\approx \text{R\$ 1.126,83}\end{array}$$

Nos juros simples, o mesmo capital chegaria a R$ 1.120,00, porque ali o saldo cresce pela mesma soma todo mês, e a sequência é uma PA.

Razão negativa alterna o sinal

Com q = −2 a sequência 1, −2, 4, −8, 16 troca de sinal a cada passo. É uma PG legítima, e as fórmulas do termo geral e da soma funcionam sem alteração.

Por que a razão não pode ser zero

Com q = 0 a sequência vira a₁, 0, 0, 0… A razão deixaria de poder ser recuperada dividindo um termo pelo anterior, e a definição de PG exige razão diferente de zero. O mesmo vale para o primeiro termo.

Onde uma PG aparece fora da prova

Juros compostos, crescimento de população, meia-vida de um material, dobra de um investimento. Toda vez que a variação é percentual e não absoluta, a sequência é geométrica: aumentar 10% ao mês é multiplicar por 1,1 todo mês, e isso é uma PG de razão 1,1.

Perguntas frequentes

Qual a fórmula do termo geral da PG?

aₙ = a₁ × q^(n − 1). O expoente é n − 1 porque o primeiro termo já existe antes de multiplicar por qualquer razão: para chegar ao sexto termo multiplica-se cinco vezes.

Quando existe a soma infinita de uma PG?

Só quando a razão está entre −1 e 1, sem incluir as pontas. Nesse intervalo os termos encolhem depressa o bastante para a soma parar num número, dado por S∞ = a₁ ÷ (1 − q). Fora dele a série diverge e não existe soma.

Como calcular a soma de uma PG de razão 1?

Com razão 1 todos os termos são iguais ao primeiro, então a soma é n × a₁. A fórmula geral não serve porque ela divide por q − 1, que seria zero.

Como calcular o produto dos termos de uma PG?

Pₙ = (a₁ × aₙ) elevado a n ÷ 2. Emparelhando o primeiro com o último, o segundo com o penúltimo e assim por diante, todo par dá o mesmo produto, e são n ÷ 2 pares. Em 2, 6, 18, 54, 162, 486: (2 × 486)³ = 918.330.048.

Como achar a razão de uma PG sabendo dois termos?

Divida um termo pelo outro e tire a raiz de índice igual à distância entre as posições. Com a₂ = 6 e a₅ = 162: q = (162 ÷ 6)^(1/3) = 3. Quando essa distância é par, a raiz tem dois sinais e as duas progressões existem.

O que são meios geométricos?

São os termos que entram entre dois números dados para formar uma PG. Inserir k meios entre a e b dá uma progressão de k + 2 termos e razão (b ÷ a) elevado a 1 ÷ (k + 1).

Qual a diferença entre PA e PG?

Na PA, cada termo é o anterior mais uma constante, e a sequência cresce em passos iguais. Na PG, cada termo é o anterior vezes uma constante, e a sequência cresce em proporção. 2, 4, 6, 8 é PA de razão 2; 2, 4, 8, 16 é PG de razão 2.

A razão de uma PG pode ser negativa?

Pode, e nesse caso o sinal dos termos alterna: 1, −2, 4, −8. As fórmulas do termo geral e da soma são as mesmas. A soma infinita continua existindo se a razão estiver entre −1 e 0.