Calculadora de Matriz

O que é uma matriz e a ordem dela

Uma matriz é uma tabela de números em linhas e colunas, escrita entre colchetes. A ordem é linhas × colunas, nessa ordem:

$$\begin{array}{rl}A& =\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right]\end{array}$$

Essa matriz 2×3 tem duas linhas e três colunas. A troca dos dois números é o erro mais comum de quem está começando, e ele aparece logo na multiplicação, onde a ordem decide se a conta existe.

Nesta página cada bloco tem seletores de ordem. Mudar a ordem não apaga o que você já digitou: a grade cresce e encolhe, e os números continuam onde estavam.

Somar e subtrair matrizes

Só existe soma entre matrizes da mesma ordem. Não há truque nem adaptação: uma 2×2 e uma 2×3 não se somam, porque quatro das células não teriam par.

A soma é célula com célula, na mesma posição:

$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cc}6& 8\\ 10& 12\end{array}\right]\end{array}$$

Como multiplicar matrizes

A multiplicação de matrizes não multiplica as posições correspondentes. Cada célula do resultado é uma soma de produtos: a linha da primeira matriz com a coluna da segunda.

Com as mesmas duas matrizes, a primeira célula é a primeira linha de A com a primeira coluna de B:

$$\begin{array}{rl}{c}_{11}& =1\times 5+2\times 7=19\\ \left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cc}19& 22\\ 43& 50\end{array}\right]\end{array}$$

Daí a regra de compatibilidade: as colunas da primeira precisam ser tantas quantas as linhas da segunda. Uma 2×3 multiplica uma 3×4 e o resultado é 2×4, que são as pontas de fora.

E mais uma coisa que surpreende: A×B não é B×A. A ordem dos fatores altera o produto, e às vezes um dos dois sentidos nem existe.

Determinante: 2×2, regra de Sarrus e Laplace

O determinante só existe em matriz quadrada. Na 2×2 é a diagonal principal menos a secundária:

$$\begin{array}{rl}\text{det}\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]& =ad-bc\\ \text{det}\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]& =1\times 4-2\times 3=-2\end{array}$$

Na 3×3 a conta mais ensinada é a regra de Sarrus, que repete as duas primeiras colunas ao lado e soma as três diagonais de um sentido menos as três do outro. Sarrus é um caso particular: ela não funciona em 4×4. Para a matriz de linhas (1, 2, 3), (0, 1, 4) e (5, 6, 0):

$$\begin{array}{rl}\text{det}& =0+40+0-(15+24+0)\\ & =40-39=1\end{array}$$

As três diagonais que descem para a direita dão 1 × 1 × 0, 2 × 4 × 5 e 3 × 0 × 6; as que descem para a esquerda dão 3 × 1 × 5, 1 × 4 × 6 e 2 × 0 × 0.

De 4×4 em diante o caminho do caderno é o desenvolvimento por cofatores, e é ele que a página escreve até a ordem 6. O número, porém, sai por eliminação em toda ordem: desenvolver por cofatores uma 25×25 daria 15 setilhões de produtos, e nenhum navegador termina isso.

O que funciona em qualquer ordem, no caderno, é o desenvolvimento de Laplace: escolhe-se uma linha, e cada elemento dela é multiplicado pelo determinante da matriz que sobra ao apagar a linha e a coluna dele, com os sinais alternando +, −, +, −. É a conta que esta calculadora escreve embaixo do resultado até a ordem 6.

Matriz inversa e o determinante zero

Essa é a informação prática que o determinante entrega. A inversa é a matriz adjunta dividida pelo determinante, e dividir por zero não é conta.

Na 2×2, a adjunta troca de lugar os dois números da diagonal principal e troca o sinal dos outros dois. Com o determinante −2 da matriz acima:

$$\begin{array}{rl}{\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]}^{-}& =\frac{1}{-2}\left[\begin{array}{cc}4& \mathrm{-2}\\ \mathrm{-3}& 1\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}\mathrm{-2}& 1\\ \mathrm{1,5}& \mathrm{-0,5}\end{array}\right]\end{array}$$

A página chega nela por Gauss-Jordan, que é o que se faz no quadro: a identidade ao lado da matriz, e as mesmas operações nas duas metades até a matriz virar a identidade. O que sobra do outro lado é a inversa.

Uma matriz de determinante zero chama-se singular. Num sistema linear, ela é o sinal de que o sistema não tem solução única.

Quando você pedir a inversa de uma matriz singular, esta página não devolve erro seco: devolve o determinante, que é zero, e a frase que explica o que isso significa.

A transposta e a matriz identidade

Transpor é virar a matriz: a primeira linha vira a primeira coluna. Uma 2×3 transposta é 3×2.

Quando a transposta é igual à matriz original, ela é simétrica, e a página avisa quando isso acontece.

A identidade é a matriz quadrada com 1 na diagonal principal e 0 no resto. Ela é o número 1 do mundo das matrizes: multiplicada por qualquer matriz compatível, devolve a própria. O determinante dela é 1, e a inversa dela é ela mesma.

Por que a ordem para em 25×25

Porque é o tamanho em que a grade ainda se monta a mão sem virar outra coisa. A conta em si não é o limite: o determinante sai por eliminação de Bareiss, que custa n³, e uma matriz 25×25 responde em um milissegundo.

O que muda com a ordem é a conta escrita. Até 6×6 a página desenvolve por cofatores, que é o que o exercício cobra; acima disso o desenvolvimento teria termos que ninguém confere de cabeça, e a linha passa a dizer o método em vez de fingir um passo a passo ilegível.

Uma ressalva honesta sobre ordens grandes: com números inteiros a eliminação de Bareiss é exata, porque todas as divisões dela fecham. Mas o determinante de uma matriz grande cresce muito rápido, e acima de nove quatrilhões ele passa da precisão que o navegador tem para dar. Nessa faixa o número sai correto nos primeiros algarismos e arredondado no fim.

Multiplicar por um número é multiplicar cada célula

O escalar é um número solto, e não uma matriz. Multiplicar uma matriz por 2 é dobrar cada célula, uma a uma, e mais nada:

$$\begin{array}{rl}2\times \left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cc}2& 4\\ 6& 8\end{array}\right]\end{array}$$

A ordem não muda. O que muda, e costuma surpreender, é o determinante: numa matriz de ordem n, multiplicar a matriz inteira por k multiplica o determinante por kⁿ, e não por k. Dobrar uma 3×3 multiplica o determinante dela por oito.

Potência: quantas vezes a matriz se multiplica por ela mesma

A² é A × A, e só existe em matriz quadrada, porque é preciso que as colunas de A sejam tantas quantas as linhas dela para o produto fechar.

Dois casos costumam confundir, e os dois têm resposta firme:

• Expoente zero dá a identidade. Pela mesma razão de x⁰ ser 1: a identidade é o elemento neutro do produto de matrizes, e é ela que faz a regra Aᵐ × Aⁿ = Aᵐ⁺ⁿ continuar de pé quando um dos expoentes é zero.
• Expoente negativo é a inversa elevada. A⁻² é (A⁻¹)², e existe exatamente quando a inversa existe. Determinante zero, nenhuma potência negativa existe.

Expoente fracionário fica de fora, e é uma recusa honesta: a raiz quadrada de uma matriz existe, tem mais de uma resposta e sai de decomposição espectral, que é outro assunto.

Escalonar: a forma em que a matriz mostra o que ela é

Escalonar é trocar linhas, multiplicá-las por números e somá-las umas às outras até a matriz chegar a uma forma em que cada linha começa com um pivô mais à direita que o da linha de cima. A forma escalonada reduzida vai além: cada pivô vale 1 e é o único não nulo da coluna dele.

Ela é única. Duas matrizes que dão na mesma forma reduzida são equivalentes por linha, e é por isso que ela responde de uma vez várias perguntas diferentes.

Posto: quantas linhas são de verdade independentes

O posto é o número de pivôs que sobraram no escalonamento, ou seja, quantas linhas não são combinação das outras.

$$\begin{array}{rl}\text{posto}\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]& =2\end{array}$$

São três linhas e só duas independentes: a terceira é duas vezes a segunda menos a primeira. Uma matriz quadrada de posto menor que a ordem tem determinante zero e não tem inversa, e são três formas de dizer a mesma coisa.

Quando o posto é o maior possível para aquela ordem, diz-se que a matriz tem posto completo.

Sistema linear: a matriz aumentada e o teorema de Rouché-Capelli

Um sistema de equações vira uma matriz: cada linha é uma equação, as primeiras colunas são os coeficientes e a última é o número depois do igual. É a matriz aumentada.

O sistema x + y = 3 e x − y = 1 vira:

$$\begin{array}{rl}\text{aumentada}& =\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 1& \mathrm{-1}& 1\end{array}\right]\end{array}$$

Escalonada, a solução sai x = 2 e y = 1.

Escalonada, ela responde tudo. A classificação sai da comparação de dois postos, o da matriz dos coeficientes e o da aumentada, e é o teorema de Rouché-Capelli:

No caso impossível o escalonamento chega a uma linha de zeros igualada a um número diferente de zero, que é uma igualdade falsa. No indeterminado sobram incógnitas sem pivô, e cada uma delas é um grau de liberdade: escolhido um valor para elas, as outras ficam determinadas.

No determinado a resposta já está pronta na forma reduzida: cada pivô vale 1 e está sozinho na coluna, então a última coluna é a solução, linha por linha.

Perguntas frequentes

Como calcular o determinante de uma matriz 3×3?

Pela regra de Sarrus: repita as duas primeiras colunas ao lado da matriz, some os três produtos das diagonais que descem da esquerda para a direita e subtraia os três produtos das diagonais que descem da direita para a esquerda. A calculadora mostra a conta desenvolvida termo a termo abaixo do resultado.

Por que não consigo multiplicar minhas duas matrizes?

Porque o número de colunas da primeira precisa ser igual ao número de linhas da segunda. Uma 2×2 não multiplica uma 3×3. Somar e subtrair pedem outra coisa: as duas matrizes precisam ter exatamente a mesma ordem.

Qual a diferença entre escalonar e reduzir?

Escalonar leva a matriz à forma em que cada pivô está mais à direita que o da linha de cima, e ali ainda há números acima dos pivôs. Reduzir vai adiante: divide cada linha pelo pivô, para ele valer 1, e zera também o que está acima dele. A forma reduzida é única, e é a que esta página mostra.

Para que serve saber o posto de uma matriz?

Para decidir se um sistema tem solução, e quantas. E para saber se uma matriz quadrada tem inversa: posto igual à ordem e determinante diferente de zero são a mesma informação dita de dois jeitos.

O que significa determinante igual a zero?

Que a matriz é singular e não tem inversa. Pela fórmula, a inversa é a adjunta dividida pelo determinante, e a divisão por zero não existe. Num sistema linear, determinante zero indica que o sistema não tem solução única.

Qual a diferença entre matriz transposta e matriz inversa?

A transposta troca linhas por colunas e existe para qualquer matriz. A inversa é a matriz que, multiplicada pela original, dá a identidade. Ela só existe em matriz quadrada de determinante diferente de zero.