Calculadora de PA (Progressão Aritmética)

O que é uma progressão aritmética

Progressão aritmética, ou PA, é uma sequência em que cada termo é o anterior mais uma constante, chamada razão. Em 3, 8, 13, 18… a razão é 5. Para achar a razão de uma sequência que você já tem, subtraia qualquer termo do seguinte: r = a₂ − a₁.

Uma PA soma sempre a mesma coisa, e por isso cresce em passos iguais. Os termos são numerados a partir do primeiro, a₁, e o termo de posição n é aₙ. A página tem três blocos: o termo geral resolvido nas quatro direções, a PA montada a partir de dois termos quaisquer e a interpolação aritmética.

Termo geral da PA: an = a1 + (n − 1)r

O termo geral dá qualquer termo sem contar um por um. A PA que começa em 3 com razão 5, no décimo termo:

$$\begin{array}{rl}{a}_{10}& =3+(10-1)\times 5\\ & =3+45=48\end{array}$$

O (n − 1) é onde quase todo mundo erra. O primeiro termo já está lá antes de somar razão nenhuma, então para chegar ao décimo termo somam-se nove razões, e não dez. A página mostra também os primeiros termos, 3, 8, 13, 18, 23…, e a lista completa até o termo pedido.

Soma da PA: a fórmula de Gauss

A soma dos n primeiros termos é o primeiro mais o último, vezes a quantidade de termos, dividido por dois. Na mesma PA, a soma dos dez primeiros:

$$\begin{array}{rl}{S}_{10}& =\frac{(3+48)\times 10}{2}=255\end{array}$$

A história é conhecida: pedido para somar de 1 a 100, Gauss percebeu que 1+100, 2+99, 3+98 dão sempre 101, e que há 50 desses pares. A fórmula é essa ideia escrita. Some a sequência com ela mesma de trás para a frente e cada par vale a₁ + aₙ. São n pares, e o dobro do que se quer, e daí a divisão por 2.

A mesma conta diz que a média dos termos de uma PA é a média do primeiro com o último: na PA acima, 25,5, que a página escreve como termo médio. As somas que mais aparecem em exercício:

A soma dos n primeiros ímpares é sempre n², e a dos n primeiros pares é n × (n + 1): são duas PAs de razão 2.

Soma de um trecho da PA

A fórmula de Gauss serve para qualquer trecho, e não só para o começo: basta usar o primeiro e o último termo do trecho e a quantidade de termos dele. Na PA 3, 8, 13…, a soma do 11º ao 20º termo:

$$\begin{array}{rl}{a}_{11}\text{e}{a}_{20}& =53\text{e}98\\ \text{soma}& =\frac{(53+98)\times 10}{2}=755\end{array}$$

A conferência é pela diferença de duas somas do começo: a dos 20 primeiros, 1.010, menos a dos 10 primeiros, 255, dá os mesmos 755. Do 11º ao 20º são 10 termos, e não 9: contam-se os dois extremos.

Razão negativa e razão zero

Nada impede a razão de ser negativa: a progressão simplesmente decresce. Em 20, 17, 14, 11… a razão é −3, e a fórmula é a mesma. Razão zero também é PA: todos os termos são iguais, e a soma é n vezes o primeiro termo. Não é um caso proibido, é um caso constante, e a página diz qual dos três tipos a progressão é.

Como achar a razão, a quantidade de termos e o primeiro termo

A fórmula do termo geral tem quatro letras: a₁, r, n e aₙ. Sabendo três, a quarta sai por conta, e o exercício quase nunca entrega as três que você esperaria. O primeiro bloco resolve as quatro direções:

Na razão, repare no menos um: entre o primeiro e o décimo termo há nove razões somadas, e não dez. Na quantidade de termos, se a conta não der número inteiro, o valor procurado não é termo daquela PA, e é isso que a página responde em vez de arredondar. Quantos termos tem a PA de 3 a 99 com razão 4:

$$\begin{array}{rl}n& =\frac{99-3}{4}+1=24+1=25\end{array}$$

PA a partir de dois termos quaisquer

“O quinto termo é 13 e o décimo segundo é 34” é o enunciado mais comum da matéria depois do termo geral, e nele nem o primeiro termo nem a razão são dados. A saída é a mesma ideia da razão: a diferença entre dois termos é a razão vezes a distância entre as posições deles. O segundo bloco faz essa conta:

$$\begin{array}{rl}r& =\frac{a_{12}-a_5}{12-5}=\frac{34-13}{7}=3\\ a_1& =a_5-4r=13-12=1\end{array}$$

Com a razão na mão, volta-se do quinto termo até o primeiro descendo quatro razões. A PA é 1, 4, 7, 10, 13, …, e o termo geral dela é aₙ = 1 + (n − 1) × 3, que é o mesmo que 3n − 2. Não importa qual dos dois termos você chama de primeiro; invertendo os dois, os sinais se cancelam e a razão é a mesma.

Interpolação aritmética: como inserir meios

Inserir meios aritméticos entre dois números é completar o caminho de um até o outro com passos iguais. Inserir 5 meios entre 3 e 27 faz uma PA de 7 termos, porque os dois extremos entram na conta, e o número de saltos é 6:

$$\begin{array}{rl}r& =\frac{27-3}{5+1}=\frac{24}{6}=4\end{array}$$

A progressão fica 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, e a soma dela é (3 + 27) × 7 ÷ 2 = 105. O erro clássico aqui é dividir por k em vez de k + 1, que é contar os meios e esquecer que o último salto também existe.

Como saber se três números estão em PA

Numa PA, cada termo é a média aritmética do anterior com o seguinte, porque está a uma razão de distância de cada um. Então a, b e c estão em PA quando 2b = a + c. É a propriedade que resolve o exercício de encontrar x: x, 2x + 1 e 5x − 3 estão em PA.

$$\begin{array}{rl}2(2x+1)& =x+5x-3\\ 4x+2& =6x-3\\ x& =\mathrm{2,5}\end{array}$$

Os termos ficam 2,5, 6 e 9,5, com razão 3,5, e a conferência é ver as duas diferenças iguais. A mesma ideia vale para termos afastados: numa PA finita, os termos equidistantes dos extremos somam o mesmo que o primeiro e o último, a₂ + aₙ₋₁ = a₁ + aₙ, que é a observação de Gauss.

Três termos em PA: x − r, x, x + r

Quando o enunciado dá a soma e o produto de três números em PA, a escolha das incógnitas resolve metade da conta: chame o do meio de x e os outros de x − r e x + r. A soma vira 3x, e a razão some dela. Três números em PA somam 21 e têm produto 231:

$$\begin{array}{rl}3x& =21⟹x=7\\ (7-r)\times 7\times (7+r)& =231\\ 49-r^2& =33⟹r=\pm 4\end{array}$$

Os números são 3, 7 e 11, e com r = −4 a mesma trinca em ordem decrescente. Com cinco termos, a escolha é x − 2r, x − r, x, x + r e x + 2r, pelo mesmo motivo.

Juros simples formam uma PA

No regime de juros simples, o saldo cresce todo mês pelo mesmo valor, o juro sobre o capital inicial, e isso é exatamente uma PA. R$ 1.000 a 1% ao mês: os montantes são 1.010, 1.020, 1.030…, uma PA de razão 10, e o décimo segundo mês é 1.000 + 12 × 10 = 1.120. Nos juros compostos, o saldo é multiplicado todo mês pela mesma taxa, e a sequência vira uma PG.

PA e função afim

O termo geral aₙ = a₁ + (n − 1)r é uma função afim da posição n: marcando os termos num gráfico, com a posição no eixo horizontal, os pontos ficam todos numa reta, e a razão é a inclinação dela. É por isso que a PA “cresce em linha reta”, enquanto a PG cresce em curva. A PA de razão 3 que começa em 1 é a reta 3n − 2 olhada só nos inteiros.

Onde uma PA aparece fora da prova

Parcelamento sem juros com entrada, depreciação linear de um bem, poltronas por fileira num teatro, degraus de uma escada. Qualquer coisa que cresça em passos iguais é uma PA, e o termo geral responde “quanto na etapa n” sem percorrer as anteriores. Um teatro com 20 poltronas na primeira fileira e 2 a mais em cada uma das 15 fileiras tem 48 poltronas na última e 510 no total.

Perguntas frequentes

Qual a fórmula do termo geral da PA?

aₙ = a₁ + (n − 1) × r. Repare no (n − 1): para chegar ao décimo termo somam-se nove razões, porque o primeiro termo já existe antes de somar qualquer uma.

Como calcular a soma dos termos de uma PA?

Sₙ = (a₁ + aₙ) × n ÷ 2. Some o primeiro com o último, multiplique pela quantidade de termos e divida por dois. É a fórmula que Gauss deduziu emparelhando a sequência com ela mesma invertida.

A razão de uma PA pode ser negativa?

Pode. Com razão negativa a progressão é decrescente, como 20, 17, 14, 11. As fórmulas do termo geral e da soma são exatamente as mesmas.

Como achar a razão sabendo dois termos?

A diferença entre os dois termos dividida pela distância entre as posições deles. Com a₅ = 13 e a₁₂ = 34: r = (34 − 13) ÷ (12 − 5) = 21 ÷ 7 = 3.

O que são meios aritméticos?

São os termos que entram entre dois números dados para formar uma PA. Inserir k meios entre a e b dá uma progressão de k + 2 termos e razão (b − a) ÷ (k + 1).

Como saber se um número pertence a uma PA?

Aplique n = (x − a₁) ÷ r + 1. Se der um inteiro maior ou igual a 1, o número é o termo daquela posição; se der fração, ele não está na progressão. Na PA de a₁ = 3 e r = 4, o 100 dá posição 25,25 e portanto não é termo dela.

Como saber se uma PA é crescente ou decrescente?

Pelo sinal da razão. Razão positiva, a PA cresce; negativa, decresce; zero, é constante. Em 50, 45, 40…, a razão é −5 e a progressão decresce.

Quanto é a soma de 1 a 100?

5.050. É a PA de razão 1 com 100 termos: (1 + 100) × 100 ÷ 2. De 1 a 1.000, 500.500.

Qual a diferença entre PA e PG?

Na PA cada termo é o anterior somado a uma razão; na PG cada termo é o anterior multiplicado por uma razão. A PA cresce em linha reta, a PG cresce (ou encolhe) em curva.