Calculadora de Média

O que é média

A média é um número que resume uma lista de valores: o valor típico, o que cada um teria se todos fossem iguais. Na média simples, é a soma dividida pela quantidade. Três amigos que gastaram R$ 30, R$ 40 e R$ 50 gastaram, em média, R$ 40 cada um: se tivessem dividido a conta igualmente, é o que cada um pagaria.

A página tem quatro blocos, um para cada média: simples, ponderada, geométrica e harmônica. As quatro respondem à mesma pergunta, “qual é o valor típico desta lista”, e dão respostas diferentes porque medem coisas diferentes. Escolher errado não é erro de conta, é erro de pergunta.

Qual das quatro médias usar

Todo bloco mostra, junto da média pedida, a mediana, a soma, a quantidade, o maior e o menor valor, e as outras médias da mesma lista, para comparar.

Como calcular a média simples

Some os valores e divida pela quantidade. As notas 7, 8,5 e 6:

$$\begin{array}{rl}\text{média}& =\frac{7+\mathrm{8,5}+6}{3}=\frac{\mathrm{21,5}}{3}\approx \mathrm{7,17}\end{array}$$

A média é 7,17, e a mediana, o valor do meio da lista ordenada 6, 7, 8,5, é 7. Com quantidade par, a mediana é a média dos dois valores do meio.

Média ou mediana: quando a média engana

A média simples é puxada por valores muito diferentes dos outros. Numa empresa com salários de R$ 2.000, R$ 2.200, R$ 2.500, R$ 2.800 e R$ 30.000, a média diz uma coisa e a mediana, outra:

Quatro das cinco pessoas ganham menos de R$ 3.000, e a média de R$ 7.900 não descreve nenhuma delas. A mediana, R$ 2.500, descreve. É por isso que estatísticas de renda costumam ser dadas pela mediana, e é por isso que a página mostra as duas lado a lado.

Como calcular a média ponderada

A ponderada soma cada valor multiplicado pelo próprio peso e divide pela soma dos pesos. Com prova 8 de peso 2 e trabalho 6 de peso 3:

$$\begin{array}{rl}\text{ponderada}& =\frac{8\times 2+6\times 3}{2+3}=\frac{34}{5}=\mathrm{6,8}\end{array}$$

O erro comum é dividir por 100 ou por 1, supondo que os pesos são porcentagens. Eles não precisam ser: pesos 2 e 3 funcionam, pesos 40 e 60 funcionam, e os dois dão a mesma resposta quando a proporção é a mesma. Dividir pela soma é o que torna isso verdade:

$$\begin{array}{rl}\text{ponderada}& =\frac{8\times 40+6\times 60}{40+60}\\ & =\frac{680}{100}=\mathrm{6,8}\end{array}$$

Deixando a coluna de peso em branco, a calculadora usa peso 1 para aquela linha, e a ponderada devolve a média simples. A média simples das mesmas duas notas seria 7: o peso maior do trabalho puxou o resultado para perto do 6.

Como calcular a média de notas

A média escolar é quase sempre uma dessas duas. Se as notas têm o mesmo peso, é a simples; se o regimento dá pesos diferentes aos bimestres, é a ponderada. Com pesos crescentes de 1 a 4:

$$\begin{array}{rl}\text{média}& =\frac{6\times 1+7\times 2+8\times 3+9\times 4}{10}\\ & =\frac{80}{10}=8\end{array}$$

A média simples das mesmas notas seria 7,5: os pesos maiores nos bimestres de nota mais alta subiram o resultado. Para a nota que falta na prova final e o cálculo por bimestre, a calculadora de notas escolares faz a conta inversa.

Média de uma tabela de frequências

Quando os valores se repetem, a lista não precisa ser digitada inteira: a quantidade de vezes que cada valor aparece é o peso dele. Numa turma de 10 alunos com estas notas:

$$\begin{array}{rl}\text{média}& =\frac{5\times 3+7\times 5+9\times 2}{10}\\ & =\frac{68}{10}=\mathrm{6,8}\end{array}$$

No bloco da ponderada, a nota vai na coluna do valor e a frequência na do peso. O resultado é o mesmo da média simples das dez notas digitadas uma a uma.

Média ponderada com pesos por área, como no SISU

A nota do Enem usada no SISU é uma média ponderada: cada curso dá um peso às cinco áreas, e a nota final é a soma das notas vezes os pesos, dividida pela soma dos pesos. Com pesos 2, 1, 3, 1 e 3, que somam 10:

$$\begin{array}{rl}\text{soma}& =1.400+650+2.400\\ & +600+2.250=7.300\\ \text{nota}& =\frac{7.300}{10}=730\end{array}$$

A média simples das cinco notas seria 700. Os pesos maiores em Natureza e Redação, onde a nota foi mais alta, subiram o resultado. Os pesos de cada curso estão no edital, e são eles que entram na coluna de peso.

Média de porcentagens: o erro de somar e dividir

Porcentagens de grupos de tamanhos diferentes não se tiram pela média simples. Se 50% de 200 alunos de uma escola e 20% de 800 alunos de outra foram aprovados, a aprovação das duas juntas não é 35%:

$$\begin{array}{rl}\text{aprovados}& =\mathrm{0,50}\times 200+\mathrm{0,20}\times 800\\ & =100+160=260\\ \text{taxa}& =\frac{260}{1.000}=\text{26\%}\end{array}$$

É a média ponderada das porcentagens, com o tamanho de cada grupo como peso. A média simples, 35%, trataria a escola pequena como se fosse do tamanho da grande.

Média geométrica: a das taxas

A geométrica multiplica os valores e tira a raiz de índice igual à quantidade. Para 2 e 8, a raiz quadrada de 16:

$$\begin{array}{rl}\text{geométrica}& =\sqrt{2\times 8}=\sqrt{16}=4\end{array}$$

É a média certa para taxas que se multiplicam. Um investimento que rende 20% num ano e 50% no outro não rendeu 35% ao ano. Rendeu a média geométrica dos fatores 1,20 e 1,50:

$$\begin{array}{rl}\text{fator}& =\sqrt{\mathrm{1,20}\times \mathrm{1,50}}=\sqrt{\mathrm{1,8}}\approx \mathrm{1,3416}\end{array}$$

São cerca de 34,16% ao ano. A diferença parece pequena e cresce com o prazo: 34,16% ao ano durante dois anos dão exatamente os 80% do total, e 35% dariam 82,25%.

Ela só existe para valores positivos. Com um zero na lista o produto zera e a média é zero para qualquer conjunto, o que não informa nada; com um negativo, a raiz de índice par de um produto negativo não é número real. A calculadora recusa os dois casos dizendo por quê.

Média harmônica: a das velocidades

A harmônica é a quantidade dividida pela soma dos inversos. Quem faz 30 km a 60 km/h e volta os mesmos 30 km a 30 km/h não teve média de 45 km/h:

$$\begin{array}{rl}\text{harmônica}& =\frac{2}{\frac{1}{60}+\frac{1}{30}}=\frac{2}{\frac{3}{60}}=40\end{array}$$

Teve 40 km/h. A conta simples engana porque o trecho lento leva mais tempo, e tempo é o que pesa: a ida levou 30 minutos e a volta, 60, e 60 km em 1,5 hora são 40 km/h. Ela exige valores diferentes de zero, porque é o inverso da média dos inversos e não existe 1 dividido por zero.

Preço médio de compras com valor fixo

A harmônica aparece também em dinheiro. Quem compra R$ 100 de um produto a R$ 10 a unidade e depois mais R$ 100 a R$ 20 não pagou preço médio de R$ 15:

$$\begin{array}{rl}\text{preço médio}& =\frac{2}{\frac{1}{10}+\frac{1}{20}}\approx \text{R\$ 13,33}\end{array}$$

Com o mesmo valor gasto em cada compra, o preço mais baixo compra mais unidades: foram 10 unidades na primeira e 5 na segunda, 15 unidades por R$ 200. Quando a quantidade de unidades é que é fixa, e não o valor, a média certa volta a ser a simples.

As três médias da mesma lista

Para valores positivos, a harmônica é sempre menor ou igual à geométrica, que é sempre menor ou igual à simples. As três só coincidem quando todos os valores são iguais. Com a lista 2 e 8:

Para dois números, as três têm forma curta. A geométrica de a e b é √(a × b), que é o termo do meio de uma progressão geométrica: 2, 4, 8. A harmônica é 2ab ÷ (a + b): para 2 e 8, 32 ÷ 10 = 3,2. E o produto da aritmética pela harmônica é o quadrado da geométrica, 5 × 3,2 = 16 = 4².

Se você calcular as três da mesma lista e a ordem sair diferente, tem erro em algum lugar. Cada bloco da página mostra as outras médias da lista junto da pedida, e a ordem sempre confere.

Perguntas frequentes

Quantos valores posso lançar?

Trinta por lista, que é o tamanho de uma turma. O botão de adicionar para de acrescentar ao chegar no limite.

Posso usar vírgula?

Pode, e deve: 8,5 é como se escreve em português. O ponto também é aceito.

Valores negativos entram na conta?

Na simples e na ponderada, sim, e o resultado pode ser negativo. Na geométrica não, pela razão explicada acima.

Por que a média ponderada deu diferente da simples com os mesmos números?

Porque os pesos são diferentes. Se todos os pesos forem iguais, as duas dão exatamente o mesmo valor, qualquer que seja o peso escolhido.

O que é média aritmética?

É o nome técnico da média simples: a soma dos valores dividida pela quantidade. A ponderada também é aritmética, com pesos.

A média pode ser maior que o maior valor?

Não. Qualquer uma das quatro médias fica entre o menor e o maior valor da lista, e só é igual a eles quando todos os valores são iguais. Um resultado fora desse intervalo é sinal de erro na conta ou num peso.

Como calcular a média de 3 números?

Some os três e divida por 3. Para 7, 8,5 e 6, a soma é 21,5 e a média, 7,17.

A média de notas é arredondada?

A página mostra o valor com as casas decimais, sem arredondar para cima nem para baixo. Se a escola arredonda, a regra está no regimento, e ela vale depois da conta: 7,17 pode virar 7,2 ou 7,0 conforme a regra.

O regimento também fixa a frequência mínima: acima de 25% de faltas o aluno reprova, mesmo com a média acima da mínima.

Como calcular a média ponderada numa planilha?

Com os valores numa coluna e os pesos na coluna ao lado, a fórmula é =SOMARPRODUTO(valores;pesos)/SOMA(pesos). O SOMARPRODUTO multiplica cada valor pelo seu peso e soma tudo, que é o numerador da conta; a divisão pela soma dos pesos é o denominador.

Qual a diferença entre média e mediana?

A média soma tudo e divide; a mediana é o valor do meio da lista em ordem. Com valores parecidos elas ficam perto; com um valor muito fora da curva, a mediana representa melhor o grupo.