Calculadora de Regra de Três

O que é regra de três

Regra de três é o método para achar o quarto valor de uma proporção quando os outros três são conhecidos. O nome vem daí: três valores entram, um sai. Se 3 canetas custam R$ 12, quanto custam 5? Os três conhecidos são 3, 12 e 5, e o quarto é o preço procurado.

A conta em si é uma multiplicação e uma divisão. O que decide se ela dá certo acontece antes: a ordem em que os valores entram no esquema, e a decisão entre direta e inversa. É por isso que a calculadora mostra o esquema montado e a relação escrita, e não só o número.

O que são grandezas diretamente e inversamente proporcionais

Uma grandeza é qualquer coisa que se mede ou se conta: preço, quantidade, tempo, distância, número de pessoas. A regra de três relaciona duas delas, e a relação pode ser de dois tipos:

• Diretamente proporcionais: quando uma dobra, a outra dobra. A razão entre elas não muda: 3 canetas por R$ 12 é a mesma razão que 5 canetas por R$ 20.
• Inversamente proporcionais: quando uma dobra, a outra cai pela metade. O produto entre elas não muda: 8 operários por 6 dias são 48 diárias, as mesmas 48 de 4 operários por 12 dias.

Como fazer regra de três simples

A regra de três simples tem duas grandezas e quatro valores, um deles desconhecido. O método tem três passos:

1. Monte o esquema em duas colunas, uma para cada grandeza, com os valores da mesma situação na mesma linha e o x no lugar do valor que falta.
2. Decida se é direta ou inversa, pela pergunta da seção abaixo.
3. Isole o x: na direta, multiplicando em cruz; na inversa, multiplicando em linha.

O “multiplicar em cruz” não é truque: é o que sobra depois de isolar o x. Na direta, a razão entre as grandezas é constante. Com 3 canetas a R$ 12 e 5 canetas a x:

$$\frac{3}{5}=\frac{12}{x}$$

Multiplicando os dois lados por 5x, chega-se a 3x = 12 × 5, e daí:

$$\begin{array}{rl}x& =\frac{12\times 5}{3}=\frac{60}{3}\\ & =20\end{array}$$

Na inversa, o produto é constante. Com 8 operários em 6 dias e 4 operários em x dias, o total de trabalho é o mesmo nos dois lados:

$$8\times 6=4\times x$$$$\begin{array}{rl}x& =\frac{8\times 6}{4}=\frac{48}{4}\\ & =12\end{array}$$

É o que se ensina como “multiplicar em linha”, e vem do mesmo lugar: isolar o x, agora numa igualdade de produtos em vez de uma igualdade de razões.

Como saber se a regra de três é direta ou inversa

A pergunta é uma só: se uma grandeza aumenta, a outra aumenta ou diminui?

Quando a dúvida persiste, vale o teste do dobro: imagine a segunda grandeza dobrando e veja para onde a primeira vai. Se ela dobra também, é direta. Se cai pela metade, é inversa.

Exemplos de regra de três simples

Direta: o preço das canetas

Se 3 canetas custam R$ 12, quanto custam 5?

Mais canetas custam mais, então é direta. Multiplicando em cruz: 3x = 12 × 5 = 60, e x = 20. Cinco canetas custam R$ 20.

Conferindo: 12 ÷ 3 = 4 reais por caneta, e 5 × 4 = 20. Bate.

Inversa: os operários e os dias

Se 8 operários levam 6 dias para levantar um muro, quantos dias levam 4 operários?

Menos gente leva mais tempo, então é inversa. Multiplicando em linha: 8 × 6 = 4 × x, ou seja 48 = 4x, e x = 12. Quatro operários levam 12 dias.

Conferindo pelo total de trabalho: 8 × 6 = 48 diárias de serviço, e 4 × 12 = 48 também. Bate.

Repare no que aconteceria se alguém montasse em cruz por hábito: 8x = 6 × 4, x = 3 dias. Metade dos operários terminando em metade do tempo, o que não faz sentido nenhum. O erro está na montagem, e não na conta.

Inversa: a velocidade e o tempo

A 60 km/h, uma viagem leva 4 horas. Quanto leva a 80 km/h? Mais rápido, menos tempo: inversa. 60 × 4 = 80 × x, então x = 240 ÷ 80 = 3 horas. A distância confere nos dois casos: 60 × 4 = 240 km, e 80 × 3 = 240 km.

Inversa: as torneiras e o tanque

Três torneiras iguais enchem um tanque em 8 horas. Em quanto tempo quatro torneiras enchem o mesmo tanque? Mais torneiras, menos tempo: inversa. 3 × 8 = 4 × x, então x = 24 ÷ 4 = 6 horas. O produto 24 é o trabalho total, em “horas de torneira”, e ele não muda.

Direta com resultado quebrado: a farinha dos bolos

Se 3 bolos usam 2 kg de farinha, 5 bolos usam:

$$x=\frac{2\times 5}{3}=\frac{10}{3}\approx \mathrm{3,333}\text{kg}$$

O resultado é 3,333… kg, uma dízima. A regra de três não precisa dar número redondo: na cozinha, isso vira 3 kg e 333 gramas.

Como fazer regra de três composta

A regra de três composta aparece quando a grandeza procurada depende de mais de uma outra ao mesmo tempo. O método é comparar cada grandeza com a procurada, separadamente, e multiplicar o valor conhecido por uma razão para cada uma:

• se a grandeza é direta em relação à procurada, a razão é depois ÷ antes;
• se é inversa, a razão é antes ÷ depois, a fração de cabeça para baixo.

Exemplo: operários, horas e metros de muro

10 operários, trabalhando 8 horas por dia, constroem 200 metros de muro em 5 dias. Quantos dias levam 15 operários, trabalhando 6 horas por dia, para construir 300 metros?

A grandeza procurada é dias, e ela vale 5 na primeira situação. Cada uma das outras três se compara com ela:

$$\begin{array}{rl}x& =5\times \frac{10}{15}\times \frac{8}{6}\times \frac{300}{200}\\ & =\frac{20}{3}\approx \mathrm{6,67}\text{dias}\end{array}$$

Cerca de 6 dias e 16 horas, ou 7 dias arredondando para cima, que é o que um cronograma usaria.

Por que o método da composta funciona

A composta é uma sequência de regras de três simples, trocando uma grandeza de cada vez e mantendo as outras paradas. No exemplo do muro:

1. Trocando só os operários, de 10 para 15, com as mesmas 8 horas e os mesmos 200 metros: inversa, 5 × 10 ÷ 15 = 3,33 dias.
2. Trocando agora as horas, de 8 para 6: inversa, 3,33 × 8 ÷ 6 = 4,44 dias.
3. Trocando por fim os metros, de 200 para 300: direta, 4,44 × 300 ÷ 200 = 6,67 dias.

Cada passo multiplica por uma razão, e juntar os três passos numa linha só é exatamente a fórmula acima. Por isso uma composta com uma grandeza só é a própria regra de três simples: 6 dias com 8 operários, para 4 operários, dá 6 × (8 ÷ 4) = 12 dias, o mesmo 12 do exemplo dos operários.

Exemplo: pessoas, horas e bolos

4 pessoas fazem 6 bolos em 2 horas. Quantos bolos fazem 6 pessoas em 3 horas? Mais pessoas, mais bolos; mais tempo, mais bolos: as duas são diretas.

$$\begin{array}{rl}x& =6\times \frac{6}{4}\times \frac{3}{2}\\ & =6\times \mathrm{1,5}\times \mathrm{1,5}\\ & =\mathrm{13,5}\text{bolos}\end{array}$$

São 13,5 bolos.

Conferindo por partes: 6 pessoas em 2 horas fariam 9 bolos, e em 3 horas fariam metade a mais, 13,5.

Como conferir o resultado da regra de três

Toda resposta tem uma conferência rápida, e ela pega quase todo erro de montagem:

• Na direta, pelo valor unitário. Se 3 canetas custam 12, uma custa 4, e 5 custam 20. O valor por unidade tem de ser o mesmo nas duas linhas.
• Na inversa, pelo produto. 8 operários × 6 dias e 4 operários × 12 dias dão os mesmos 48. Se o produto mudou, a montagem está errada.
• Em qualquer uma, pelo sentido. Antes de fazer a conta, diga se a resposta tem de ser maior ou menor que o valor conhecido. Menos operários levam mais dias: se sair menos que 6, algo deu errado.

Quais os erros mais comuns na regra de três

1. Trocar a ordem das colunas. Os valores da mesma grandeza ficam na mesma coluna, e os da mesma situação na mesma linha. Pôr o preço embaixo da quantidade, em vez de ao lado, troca a conta inteira antes de ela começar.
2. Trocar direta por inversa. É o erro que mais aparece, e o resultado fica absurdo de um jeito que dá para notar: mais operários terminando em mais tempo, mais velocidade levando mais horas. Quando a resposta soa estranha, confira a relação antes da conta.
3. Misturar unidades. Se um lado está em horas e o outro em minutos, a proporção mente. Converta antes de montar.
4. Usar regra de três onde a relação não é proporcional. Se um bebê ganha 3 kg em 6 meses, não ganha 6 kg em 12. Nem toda relação entre duas grandezas é uma proporção, e a regra de três só vale quando é.
5. Pôr zero no lugar que divide. Na direta, a conta divide pelo primeiro valor; na inversa, pelo terceiro. Zero ali não é um número pequeno: é a proporção deixando de existir, e a calculadora aponta o campo em vez de devolver resultado.

Como fazer porcentagem com regra de três

Toda conta de porcentagem é uma regra de três com o 100 num dos lugares. “Quanto é 15% de 300” monta assim:

E daí x = (300 × 15) ÷ 100 = 45. Quem sabe montar regra de três já sabe fazer porcentagem sem decorar fórmula nenhuma. Para as contas de porcentagem prontas, com aumento, desconto e diferença percentual, há a calculadora de porcentagem.

Para que serve a regra de três no dia a dia

Receita para mais gente. Tinta por metro quadrado. Consumo de combustível numa viagem mais longa. Escala de planta, que é uma proporção pura e tem a calculadora de escala própria. Dosagem por peso. Conversão entre moedas.

Uma receita de arroz para 4 pessoas leva 300 g; para 6 pessoas, a razão é 6 ÷ 4 = 1,5, e a receita pede 300 × 1,5 = 450 g. É a regra de três mais comum que existe, feita de cabeça em muita cozinha.

Perguntas frequentes

Qual é a fórmula da regra de três?

Com o esquema a está para b assim como c está para x, a direta é x = (b × c) ÷ a, e a inversa é x = (a × b) ÷ c. A direta multiplica em cruz, e a inversa em linha.

A regra de três pode dar resultado com vírgula?

Pode, e muitas vezes dá. 5 bolos com a farinha de 3 pedem 10/3 kg, uma dízima. Quando o resultado conta coisas inteiras, como pessoas ou dias de cronograma, arredonda-se no fim, e em geral para cima.

Quantas grandezas cabem numa regra de três composta?

Quantas o problema tiver. Na prática escolar são duas ou três além da procurada. A calculadora aceita até cinco, que já é mais do que cabe numa folha de exercício.

Qual a diferença entre regra de três simples e composta?

A simples relaciona duas grandezas, como canetas e preço. A composta relaciona três ou mais, como operários, horas por dia, metros de muro e dias. A composta se resolve como uma sequência de simples, uma grandeza de cada vez, e por isso quem domina a simples já sabe a composta.

Qual a diferença entre razão, proporção e regra de três?

Razão é a divisão entre dois valores, como 12 ÷ 3, o preço por caneta. Proporção é a igualdade entre duas razões, como 3 ÷ 5 = 12 ÷ x. A regra de três é o método de resolver essa proporção quando falta um dos quatro valores.