Calculadora Gráfica

O que é uma calculadora gráfica

A calculadora gráfica desenha o gráfico de uma função no plano cartesiano, o par de eixos perpendiculares em que cada ponto é um par (x; y). O eixo horizontal é o x, o vertical é o y, e o gráfico da função f é o conjunto dos pontos em que y = f(x).

Ver a curva responde perguntas que a conta sozinha esconde: onde a função é zero, onde ela é máxima, onde duas curvas se cruzam, o que acontece quando um coeficiente muda. Esta traça até seis curvas ao mesmo tempo, cada uma com sua cor e seu traço, e escreve por extenso o que há de notável em cada uma. O tracejado não é enfeite: cor sozinha não distingue nada para quem não a enxerga, e a legenda diz qual traço é de qual curva.

Como plotar o gráfico de uma função online

Escreva a função usando x como variável e os mesmos símbolos da calculadora científica: x², x^3, √x, sen(x), ln(x), 1÷x. A multiplicação precisa do sinal, 2 × x, e não 2x, porque sem ele não há como distinguir o produto de um nome de função.

O campo aceita cinco formas, e reconhece qual é pelo que você escreve:

Exemplo: escreva x² − 4. A página desenha a parábola e lista os pontos notáveis. As raízes, onde a curva corta o eixo x, são os valores de x que zeram a função:

$$\begin{array}{rl}{x}^2-4& =0\\ x^2& =4\\ x& =\pm 2\end{array}$$

O mínimo fica no vértice, em (0; −4), e a curva corta o eixo y no mesmo ponto. É o que a lista de pontos notáveis escreve abaixo do plano.

Por que o gráfico de 1/x não liga os dois lados

Em 1÷x, a função não existe em x = 0: a curva sobe ao infinito de um lado e desce do outro, e a reta x = 0 é uma assíntota, uma reta de que a curva se aproxima sem nunca tocar. Muito plotador da web liga o ramo da esquerda ao da direita e desenha uma reta vertical em cima do eixo, uma reta que a função não tem.

Aqui o traço é interrompido, mas só depois de conferir. Salto grande não prova assíntota: uma reta muito inclinada também sobe rápido. Quando o salto não cabe na janela, o trecho é partido ao meio várias vezes seguidas; se o valor do meio fica entre as pontas, é rampa e o traço segue, e se ele escapa do intervalo, é assíntota e o traço recomeça do outro lado.

O mesmo vale para a tangente, que sobe ao infinito a cada 90°, e para a raiz de número negativo, que não é desenhada.

Como fazer o gráfico de uma equação em x e y

Escreva com sinal de igual e o plano desenha a curva inteira: x² + y² = 25 é a circunferência de raio 5, x² − y² = 1 é a hipérbole. É a chamada equação implícita, em que o y não está isolado.

Isso não é uma função: na circunferência, para cada x há dois y, e nenhum traçado coluna a coluna dá conta. O plano vira uma grade, cada canto recebe o sinal da equação, e a curva passa onde dois cantos vizinhos discordam. É assim que y = 1 ÷ x, escrita como equação, também não ganha uma reta falsa em x = 0.

A equação entra no desenho e na legenda, mas não na tabela de valores nem nos pontos notáveis: os dois pressupõem um y para cada x, e uma circunferência tem dois.

Como representar uma inequação no plano cartesiano

Troque o igual por um sinal de comparação e o plano pinta o lado certo: y > x² sombreia tudo o que está acima da parábola, e x² + y² ≤ 25 sombreia o disco de raio 5. Valem >, <, ≥, ≤ e também as formas >= e <=.

A borda sai cheia quando faz parte da resposta, nos sinais ≥ e ≤, e tracejada quando não faz, nos sinais > e <. É a convenção do livro, e é a única coisa na tela que distingue “maior que” de “maior ou igual a”.

Para um sistema de inequações, escreva uma em cada campo: a região onde as duas cores se sobrepõem é a solução.

Como fazer o gráfico de uma curva paramétrica

Na curva paramétrica, x e y são escritos em função de um terceiro número, o parâmetro t, e a curva é o rastro do ponto enquanto o t anda. Escreva o par entre parênteses, separado por ponto e vírgula: (cos(t); sen(t)) é a circunferência de raio 1, (t − sen(t); 1 − cos(t)) é a cicloide, e (3 × cos(3 × t); 3 × sen(4 × t)) é uma figura de Lissajous.

O separador é o ponto e vírgula, e não a vírgula, porque em português a vírgula é o separador decimal: (2,5; 3) precisa poder significar uma coisa só. Como o t anda sozinho, a curva pode voltar, se cruzar e se fechar, coisas que nenhuma função de x faz.

O trecho que o t percorre aparece em Valores, logo abaixo dos campos, e aceita conta escrita: 2 × π, 6 × π, −π÷2. A faixa vale para o plano inteiro, e uma segunda tabela traz onze valores de t com o x e o y de cada curva.

Como fazer um gráfico em coordenadas polares

Em coordenadas polares, o ponto é dado pela distância até a origem, o raio r, e pelo ângulo t medido a partir do eixo x. Escreva r = e o raio em função do ângulo: r = 1 + cos(t) é a cardioide, r = 3 × cos(2 × t) é a rosa de quatro pétalas, r = t é a espiral de Arquimedes. teta vale como sinônimo de t.

Para desenhar, a página converte cada ponto para o plano cartesiano:

$$\begin{array}{rl}x& =r\times \text{cos}t\\ y& =r\times \text{sen}t\end{array}$$

Raio negativo não é erro. Ele marca o ponto no sentido oposto ao do ângulo, e é daí que saem as duas pétalas que faltariam na rosa de r = cos(2 × t). Quem trata r negativo como ausência de ponto desenha metade da flor.

Ao trocar de radiano para grau, uma volta inteira deixa de ser 2π e passa a ser 360. A faixa do ângulo acompanha a troca sozinha, a menos que você já tenha escrito outra.

Como usar o controle deslizante

Escreva um nome que não seja função nem constante, como a × x² + b, e a página cria um controle para cada um. Arrastar move a curva na hora, e é assim que se vê o que um coeficiente faz: aumente o a e a parábola fecha; mexa no b e ela sobe inteira. O controle também vale para equação: x² + y² = a abre um controle para o raio ao quadrado.

Os controles vão de −10 a 10 e nascem em 1. Eles aparecem porque a função pediu e somem quando o nome sai da conta.

Como fazer ajuste de curva pelo método dos mínimos quadrados

O ajuste parte de dados, e não de uma fórmula: quem mediu a altura de uma planta toda semana tem uma tabela, e quer saber qual curva descreve essa tabela. É o que também se chama de regressão. O botão Ajustar a pontos abre uma tabela de x e y e a escolha entre cinco modelos:

O método dos mínimos quadrados escolhe a curva que deixa a menor soma dos erros ao quadrado, entre o y medido e o y da curva. Na reta, a inclinação e o intercepto saem de uma conta fechada. Com os pontos (1; 2), (2; 3), (3; 5) e (4; 6), a média de x é 2,5 e a de y é 4:

$$\begin{array}{rl}a& =\frac{\text{Σ(x − 2,5)(y − 4)}}{\text{Σ(x − 2,5)²}}=\frac{7}{5}=\mathrm{1,4}\\ b& =4-\mathrm{1,4}\times \mathrm{2,5}=\mathrm{0,5}\end{array}$$

A reta ajustada é y = 1,4x + 0,5.

O R² é a fração da variação dos dados que o modelo explica: 1 é a curva passando por todos os pontos, 0 é ela não explicar nada além da média. Ele compara a soma dos erros ao quadrado que sobra, SQE, com a variação total dos dados em torno da média, SQT:

$$\begin{array}{rl}{R}^2& =1-\frac{\text{SQE}}{\text{SQT}}\\ & =1-\frac{\mathrm{0,2}}{10}=\mathrm{0,98}\end{array}$$

A reta explica 98% da variação desses quatro pontos. A reta e a parábola são resolvidas de forma exata, sem tentativa. Os modelos exponencial, de potência e logarítmico são ajustados sobre o logaritmo, como nos livros-texto, e isso tem um preço que vale saber: o que se minimiza é o erro do logaritmo de y, e não o de y, o que dá mais peso aos pontos pequenos. O R² é sempre medido sobre os dados originais, e nunca sobre os transformados, que pareceriam melhores do que o ajuste é.

Não há opção de melhor ajuste automático. Comparar o R² de uma reta com o de uma exponencial ajustada sobre o logaritmo é comparar duas contas medidas em espaços diferentes. Quem escolhe o modelo é quem sabe o que os dados são.

Como achar raízes, máximo, mínimo e interseções

Abaixo do plano, a página lista o que há de notável no trecho visível: raiz, máximo, mínimo, onde a curva corta o eixo y e onde duas curvas se cruzam. Tudo marcado no desenho e escrito por extenso, que é o que responde “onde a parábola corta o eixo x” sem precisar enxergar o gráfico.

Raiz aqui é raiz de verdade. Uma assíntota como a de 1÷x troca de sinal em zero sem ter raiz nenhuma, e não é anunciada como tal; já o zero de x², que encosta no eixo sem atravessá-lo, é encontrado.

Abaixo dos pontos notáveis há uma tabela de onze valores igualmente espaçados no trecho visível, que acompanha o zoom e o arrasto. Ela traz em texto a mesma informação do desenho.

Por que os dois eixos têm a mesma escala

Porque, com escalas diferentes, o desenho mente sobre a inclinação: y = x não sai a 45°, e um círculo sai ovalado. Aqui um pixel vale o mesmo nos dois eixos, na abertura, no zoom e quando você gira o celular.

Perguntas frequentes

Como aproximar e mover o gráfico?

A roda do mouse aproxima e afasta em torno do ponteiro, e arrastar move. No celular, arrastar move. Os botões de mais, menos e centralizar fazem o mesmo sem depender de gesto, o que mantém a ferramenta usável pelo teclado.

Dá para misturar equação e função no mesmo gráfico?

Dá. Escreva x² + y² = 25 num campo e x no outro, e a reta corta a circunferência na tela. Cada campo reconhece a própria forma, e as cinco podem conviver no mesmo plano.

Como acho a reta que melhor passa pelos meus dados?

Clique em Ajustar a pontos, digite os pares de x e y na tabela e deixe o modelo em Reta. A equação e o R² aparecem escritos abaixo, e a reta é desenhada por cima dos pontos, para você ver o quanto ela erra de cada um.

Dá para plotar mais de duas funções?

Dá, até seis. A página abre com duas e o botão Adicionar função põe as outras. A bolinha colorida ao lado de cada campo esconde e mostra aquela curva sem apagar o que você escreveu.

O gráfico está em grau ou em radiano?

Em radiano, que é o padrão de toda calculadora gráfica. Em grau, sen(x) tem período 360, e numa janela de −10 a 10 apareceria como uma reta quase horizontal. O alternador ao lado do zoom troca quando você precisar.

Por que o ângulo da polar é t, e não θ?

Porque o campo é texto puro, e um símbolo que não se digita no teclado não é útil. O nome é t, o mesmo das paramétricas, e teta é aceito junto.

Ela substitui o GeoGebra ou o Desmos?

Para traçar curvas, faz o mesmo: função, equação implícita, inequação, paramétrica, polar, controle deslizante, ajuste de curva e pontos notáveis. O que aqueles programas têm e esta não tem é geometria dinâmica, três dimensões, cálculo simbólico, planilha e salvar e compartilhar o que você montou. Para conferir o formato de uma curva ou ajustar uma reta a alguns pontos, esta resolve; para montar uma aula inteira, o lugar é lá.