Calculadora de Fração

O que é uma fração

Uma fração é uma divisão escrita sem fazer: 3/4 quer dizer 3 dividido por 4, ou três partes de um inteiro dividido em quatro. O número de cima é o numerador, que conta as partes, e o de baixo é o denominador, que diz em quantas partes o inteiro foi dividido. Por isso o denominador nunca é zero.

A página faz sete contas com frações: somar, subtrair, multiplicar, dividir, simplificar, passar de fração para decimal e de decimal para fração. Um segundo bloco compara duas frações.

Como escolher a conta com frações

O seletor entre as duas frações diz o que fazer com elas, e a página se ajusta sozinha. Em simplificar e em fração para decimal, a segunda fração some, porque a conta é sobre uma só. Em decimal para fração, o par de campos dá lugar a um campo de número.

O menu de cima é outra pergunta: se você está trabalhando em fração simples ou em números mistos. Escolhendo números mistos aparece o campo do inteiro ao lado de cada fração, e o resultado volta escrito do mesmo jeito.

Como simplificar uma fração

Toda operação mostra o resultado antes e depois de simplificar. Somando 2/4 + 1/4 você vê 12/16 e depois 3/4.

Parece redundante e não é: 12/16 é o passo que o professor pede na folha, e é onde o erro costuma estar. Uma calculadora que devolve só 3/4 confirma ou nega a sua resposta, mas não ajuda a achar onde você errou.

Simplificar é dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número, até não haver divisor comum. O maior de uma vez é o MDC, e a página mostra qual foi usado:

$$\begin{array}{rl}\frac{12}{16}& =\frac{12÷4}{16÷4}=\frac{3}{4}\end{array}$$

A fração que sobra, sem divisor comum entre os dois termos, é a fração irredutível.

Como somar e subtrair frações

Frações só se somam quando os denominadores são iguais. Quando não são, multiplicam-se cruzado:

$$\begin{array}{rl}\frac{a}{b}+\frac{c}{d}& =\frac{a\times d+c\times b}{b\times d}\end{array}$$

Com 1/2 + 1/4:

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{2}+\frac{1}{4}& =\frac{1\times 4+1\times 2}{2\times 4}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\end{array}$$

Você pode ter aprendido a procurar o MMC dos denominadores primeiro, e está certo: dá o mesmo resultado com números menores no meio do caminho. O produto dos denominadores sempre funciona e a simplificação no fim resolve o excesso. Se preferir o MMC, ele está na calculadora de MMC.

Como multiplicar frações

Ao contrário da soma, a multiplicação não pede denominador comum: multiplica-se numerador com numerador e denominador com denominador.

$$\begin{array}{rl}\frac{2}{3}\times \frac{3}{4}& =\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\end{array}$$

É a primeira coisa que surpreende quem está aprendendo: a operação que parece mais difícil é a mais simples.

Como dividir frações

Para dividir, inverta a segunda fração e multiplique:

$$\begin{array}{rl}\frac{3}{4}÷\frac{1}{2}& =\frac{3}{4}\times \frac{2}{1}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\end{array}$$

Em decimal, 1,5.

E aqui está a segunda surpresa: dividir por meio dá o dobro. Faz sentido quando se lê a pergunta em voz alta: quantas metades cabem em três quartos? Uma e meia.

Dividir por uma fração igual a zero não existe, e a calculadora recusa dizendo isso: o inverso de zero não existe.

Fração para decimal e a dízima periódica

Dividir o numerador pelo denominador dá o decimal. Às vezes a divisão termina, às vezes não:

Os parênteses marcam o que se repete, que é a notação dos livros. A calculadora não arredonda essa parte: ela faz a divisão longa e detecta quando um resto se repete, que é exatamente o momento em que a dízima começa.

A regra por trás: uma fração irredutível dá decimal exato quando o denominador só tem os fatores primos 2 e 5. 4 = 2², dá exato; 6 = 2 × 3, tem o 3 e dá dízima. As frações que mais aparecem no dia a dia, com o decimal e a porcentagem:

Decimal para fração, e o cuidado com a dízima

Conte as casas decimais, ponha o número sobre a potência de dez correspondente e simplifique. 0,75 tem duas casas, então é 75/100 = 3/4.

Atenção: 0,333 não é um terço. A conversão desta página é exata sobre o que você escreveu, então 0,333 vira 333/1000. Um terço é a dízima 0,333… com infinitos treses, e converter dízima em fração é outra conta:

1. Chame a dízima de x: x = 0,333…
2. Multiplique por 10 elevado ao tamanho do período: 10x = 3,333…
3. Subtraia a primeira da segunda: 9x = 3
4. Isole x: x = 3/9 = 1/3

$$\begin{array}{rl}10x-x& =\mathrm{3,333\dots }-\mathrm{0,333\dots }\\ 9x& =3\\ x& =\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\end{array}$$

Como comparar frações

A multiplicação cruzada resolve na hora, sem calcular os decimais. Para comparar 2/3 e 3/4:

$$\begin{array}{rl}2\times 4& =8\\ 3\times 3& =9\end{array}$$

Como 8 é menor que 9, a primeira é menor: 2/3 < 3/4.

Funciona porque é o mesmo que pôr as duas no denominador comum 12 e comparar 8/12 com 9/12. E é melhor que comparar os decimais 0,6667 e 0,75: com inteiros a conta é exata, e frações próximas como 12/17 e 19/27 não sobrevivem a arredondamento.

Número misto, na entrada e na resposta

Uma fração imprópria, em que o numerador é maior que o denominador, pode ser escrita como inteiro mais fração. Divida e guarde o resto:

$$\begin{array}{rl}\frac{7}{2}& =3+\frac{1}{2}=3\frac{1}{2}\end{array}$$

7 dividido por 2 dá 3 e sobra 1: o 3 é o inteiro, e o resto 1 fica sobre o mesmo denominador.

Escolhendo forma de números mistos no menu de cima, cada fração ganha o campo do inteiro, que é o W do desenho: W n/d vale W mais n/d. Digitar 1 no inteiro, 1 no numerador e 2 no denominador é digitar 3/2.

O resultado volta na mesma forma, e a outra fica na linha de baixo: quem escolheu misto recebe a fração imprópria junto, e quem escolheu fração simples recebe a mista. É o que o exercício costuma pedir de volta, e evita fazer a conversão à mão.

Com fração negativa, o sinal fica no inteiro e a parte fracionária fica positiva: −7/2 é −3 1/2. Escrever −3 −1/2 daria −3,5 também, mas não é como se escreve nem como se lê. O sinal do inteiro vale para o conjunto, então −1 1/2 é −3/2.

Frações equivalentes

Frações equivalentes representam a mesma quantidade com números diferentes: 1/2, 2/4, 3/6 e 50/100 são a mesma metade. Obtém-se uma equivalente multiplicando ou dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número, diferente de zero.

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{2}& =\frac{1\times 3}{2\times 3}=\frac{3}{6}\end{array}$$

Simplificar é o caminho de volta, dividindo, e a fração irredutível é a equivalente de menores termos. Para saber se duas frações são equivalentes, a multiplicação cruzada responde: 2/4 e 3/6 dão 2 × 6 = 12 e 4 × 3 = 12, iguais, então são equivalentes.

Como somar frações com o MMC

A página usa o produto dos denominadores, que sempre funciona. Na mão, o MMC dos denominadores dá números menores e menos para simplificar no fim. 5/6 + 3/4: o MMC de 6 e 4 é 12.

$$\begin{array}{rl}\frac{5}{6}+\frac{3}{4}& =\frac{10}{12}+\frac{9}{12}=\frac{19}{12}\end{array}$$

Pelo produto, a conta passaria por 38/24 antes de simplificar para os mesmos 19/12. Os dois caminhos chegam ao mesmo resultado; o do MMC só tem menos conta. Em número misto, 19/12 é 1 7/12.

Como calcular a fração de um número

Multiplique o número pelo numerador e divida pelo denominador. 3/4 de 200:

$$\begin{array}{rl}\frac{3}{4}\times 200& =\frac{600}{4}=150\end{array}$$

Dividir primeiro dá o mesmo resultado com números menores: 200 ÷ 4 = 50, e 50 × 3 = 150. É a conta de “2/3 da turma”, “3/4 do salário” e “1/3 da receita”: 2/3 de 90 são 60.

Fração aparente e fração unitária

Além de própria, imprópria e mista, dois nomes caem em prova. A fração aparente tem o numerador múltiplo do denominador, e por isso é um inteiro escrito como fração: 8/4 = 2 e 15/5 = 3. A fração unitária tem numerador 1, como 1/2, 1/5 e 1/12, e representa uma única parte do inteiro.

A página reconhece a aparente sozinha: 8/4 sai simplificada como 2, e o número misto também dá 2, porque não sobra parte nenhuma.

Como dobrar ou dividir uma receita com frações

Dobrar é multiplicar cada medida por 2, e fazer meia receita é dividir por 2. 3/4 de xícara:

$$\begin{array}{rl}\text{dobro}& =\frac{3}{4}\times 2=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\\ \text{metade}& =\frac{3}{4}÷2=\frac{3}{8}\end{array}$$

O dobro, 3/2, é 1 1/2 xícara em número misto, que é como se mede na cozinha. A metade, 3/8, não tem medida pronta na maioria dos jogos de xícaras: é meia xícara menos 1/8, ou 6 colheres de sopa quando a xícara tem 16.

Para ajustar a receita a outras porções, de 4 para 6, cada medida vai multiplicada por 6/4 = 3/2: é a proporção direta que a regra de três monta ingrediente por ingrediente.

Como colocar frações em ordem

O bloco de comparação decide entre duas frações. Para ordenar várias, compare de duas em duas ou reescreva todas com o mesmo denominador, e aí a ordem é a dos numeradores. 2/3, 3/4 e 5/8, com denominador 24:

$$\begin{array}{rl}\text{reescritas}& =\frac{16}{24}\text{,}\frac{18}{24}\text{,}\frac{15}{24}\end{array}$$

Em ordem crescente, 5/8 < 2/3 < 3/4. Com o mesmo numerador, vale o contrário: quanto maior o denominador, menor a fração, porque o inteiro foi dividido em mais partes.

Perguntas frequentes

Por que o denominador não pode ser zero?

Porque o denominador diz em quantas partes o inteiro foi dividido, e dividir em zero partes não é uma divisão. Não é uma limitação da calculadora: a operação não existe.

A calculadora aceita fração negativa?

Aceita, e coloca o sinal no numerador. 1/−2 e −1/2 são a mesma fração, e a calculadora as trata como iguais, que é o correto.

E fração com número decimal, tipo 1,5/2?

Os campos aceitam só inteiros, porque fração de decimal não é forma canônica. Multiplique os dois termos até sumirem as casas: 1,5/2 é o mesmo que 15/20, que simplifica para 3/4.

Como somar uma fração com um número inteiro?

Escreva o inteiro como fração de mesmo denominador e some os numeradores: 2 + 3/4 = 8/4 + 3/4 = 11/4, que em número misto é 2 3/4. Na página, digite o inteiro como fração de denominador 1.

Qual a diferença entre fração própria, imprópria e mista?

Própria tem numerador menor que o denominador, como 3/4. Imprópria tem numerador maior, como 7/2. Mista é a imprópria escrita como inteiro mais fração, como 3 e 1/2. As duas últimas são o mesmo número escrito de dois jeitos.