Calculadora de MDC
Com a calculadora de MDC, informe dois ou mais números inteiros e receba o máximo divisor comum, com a decomposição em fatores primos de cada um deles e do resultado, e as divisões do algoritmo de Euclides escritas uma por uma.
Máximo Divisor Comum
12 MDC
O maior número que divide 24 e 36 ao mesmo tempo é 12.
- Decomposição do MDC
- 12 = 2² × 3
- Decomposição de Cada Número
- 24 = 2³ × 3 · 36 = 2² × 3²
- Números Informados
- 2
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MDC por Fatoração em Primos
Cada linha é um primo e cada coluna um número, e a célula é o expoente com que aquele primo entra naquele número. O MDC toma o MENOR expoente de cada linha, que é a coluna destacada, e multiplica: é a regra inteira numa imagem. Primo que não aparece em todos os números sai com expoente zero e não entra, porque o MDC precisa dividir todos. É a regra oposta à do MMC, que toma o maior.
24 = 2³ × 3
36 = 2² × 3²
| Primo | 24 | 36 | O menor deles |
|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 2 | 2² |
| 3 | 1 | 2 | 3 |
MDC = 2² × 3 = 12
MDC pelo Algoritmo de Euclides
Divida o maior pelo menor, guarde o resto e repita com o divisor e o resto. O último resto diferente de zero é o máximo divisor comum, e a linha que dá resto zero é a prova de que a conta parou. Não fatora nada, e é por isso que continua rápido com números enormes, que é exatamente onde a fatoração desiste. Com três números ou mais ele anda dois a dois, e o resultado de um par entra no par seguinte.
36 = 1 × 24 + 12
24 = 2 × 12 + 0
O que é o MDC
O máximo divisor comum, ou MDC, de dois números é o maior número que divide os dois sem deixar resto. Os divisores de 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12; os de 18 são 1, 2, 3, 6, 9 e 18; o maior que aparece nas duas listas é 6.
Como calcular o MDC pelo algoritmo de Euclides
Divida o maior pelo menor e troque o par pelo divisor e o resto, até o resto dar zero. O último resto diferente de zero é o MDC. MDC de 18 e 12:
O resto zerou na segunda divisão, e o último resto diferente de zero é 6. Com números maiores o método mostra a vantagem. MDC de 1.071 e 462:
O MDC é 21, em três divisões e sem fatorar nada.
Por que Euclides funciona
O método tem mais de dois mil anos e se apoia numa observação só: quem divide dois números divide também o resto da divisão entre eles.
Se um número divide 18 e divide 12, ele divide o que sobra quando se tira 12 de 18, que é 6. Então o conjunto de divisores comuns de 18 e 12 é o mesmo de 12 e 6, e o de 12 e 6 é o mesmo de 6 e 0. Trocar o par pelo resto não perde nenhum divisor comum pelo caminho, e a cada troca os números encolhem, até um deles chegar a zero.
Chegar a zero é o fim porque todo número divide zero: o companheiro dele naquele momento é o maior divisor comum que sobrou. É por isso que a resposta é o último resto diferente de zero, e não o zero.
E é por isso que o método não precisa fatorar. Fatorar um número de trinta dígitos é caro; dividi-lo não é. A seção acima mostra as divisões com os seus números.
Como calcular o MDC pela fatoração em primos
Decomponha os números e multiplique só os primos comuns a todos, cada um com o menor expoente. MDC de 24 e 36:
Por que tomar o menor expoente
A regra da fatoração se resume a uma linha: cada primo entra com o menor expoente que ele tiver entre todos os números. O motivo é que o MDC precisa dividir todos ao mesmo tempo.
Para dividir 24 = 2³ × 3, o resultado não pode ter mais que três fatores 2. Para dividir 36 = 2² × 3², não pode ter mais que dois. Atender aos dois ao mesmo tempo é respeitar a exigência mais apertada, e é ela que manda.
É por isso que um primo que aparece em um número só fica de fora: se ele não está em todos, qualquer potência dele quebraria a divisão por quem não o tem. Na tabela acima ele aparece com expoente zero, que é a mesma coisa dita em números.
Para o MMC a regra é a oposta, cada primo com o maior expoente, e nenhum primo fica de fora.
Quando o MDC é 1
Dois números cujo único divisor comum é 1 são chamados primos entre si, ou coprimos. Não significa que sejam primos: 8 e 9 são coprimos e nenhum dos dois é primo. É a situação em que uma fração já está na forma irredutível.
Tabela de MDC de números comuns
| Números | MDC | MMC |
|---|---|---|
| 12 e 18 | 6 | 36 |
| 24 e 36 | 12 | 72 |
| 15 e 20 | 5 | 60 |
| 8 e 9 | 1 | 72 |
| 48 e 180 | 12 | 720 |
| 1.071 e 462 | 21 | 23.562 |
Em cada linha, MDC vezes MMC dá o produto dos dois números: 21 × 23.562 = 494.802 = 1.071 × 462.
Para que serve o MDC
Simplificar fração: divida numerador e denominador pelo MDC deles e você chega à irredutível em um passo. Cortar um terreno de 12 por 18 metros em quadrados iguais e do maior tamanho possível: os quadrados têm 6 metros de lado. Distribuir 12 lápis e 18 cadernos em kits iguais sem sobrar nada: 6 kits.
Fórmula usada
Aritmética dos inteiros. O máximo divisor comum é o maior inteiro positivo que divide todos os números dados. O algoritmo de Euclides troca o par (a, b) pelo par (b, r), com r o resto de a por b, porque todo divisor comum de a e b divide também r; a troca se repete até o resto ser zero, e o último resto diferente de zero é o MDC. Pela fatoração em primos, o MDC é o produto dos primos comuns a todos os números, cada um com o menor expoente com que aparece. Para três ou mais números, o MDC é aplicado dois a dois. Os números entram pelo valor absoluto; MDC(0, a) é |a|, e MDC(0, 0) é recusado, porque todo inteiro divide zero e não existe um maior.
Perguntas frequentes
MDC com zero funciona?
Funciona: MDC(0, 7) é 7, porque todo número divide zero e o maior divisor comum acaba sendo o próprio 7. Só MDC(0, 0) é recusado, porque aí não existe um maior.
E números negativos?
A conta usa o valor absoluto, que é a convenção. MDC(−4, 6) é 2.
Qual a relação entre MMC e MDC?
Para dois números, MMC × MDC = o produto dos dois. Com 12 e 18: 36 × 6 = 216 = 12 × 18. É a conferência mais rápida que existe para quem fez a conta à mão.
Serve para simplificar fração?
Serve, e é o uso mais comum. Divida o numerador e o denominador pelo MDC dos dois: 18/24 tem MDC 6, e vira 3/4 direto.